Аллакова Дилбар



Yüklə 1,93 Mb.
səhifə8/24
tarix20.01.2023
ölçüsü1,93 Mb.
#79804
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   24
Аллакова Дилбар

а2 a1, a2 a3 , ... , a2 am-1 , a2 am
.........................................................
am а1 , am a2 , ... , am am- 2 am am-1

бунда m та сатр ва m-1 та устун бор. Демак, Am 2 = m(m-1). Энди m элементдан 3 тадан тызилган ыринлаштиришларни щосил =илиш учун m элементдан 2 тадан m(m-1) та ыринлаштиришларни ёзиб олиб уларнинг щар бирининг ёнига =олган m-2 та элементларни ёзиб чи=амиз:


а1 a2 a3 , а1 a2 a4 , ... , а1 a2 am-1 , а1 a2 am
a1 а3 a2 , a1 a3 a4 , ... , a1 a3 am-1 , a1 a3 am
......................................................... ................................
am am-1 а1 , am am-1 a2 , ... , am am-1 am- 3 , am am-1 am- 2 .

Бу ерда m(m-1) та сатр ва m-2 та устун бор. Демак, Am3 = m(m-1)(m-2).
Бу жараённи n марта такрорлаб (1) формулани щосил =иламиз. Мисол: A5 3 = 5.4.3=60
2. Ырин алмаштиришлар. m та элементдан тузилган ырин алмаштиришлар деб щар бирида m та элемент былиб, бир-биридан фа=ат элементларининг жойлашиш тартиби билангина фар= =илувчи бирикмаларга айтилади.
m та элементдан тузилган ырин алмаштиришлар сони Pm (permutation) сызининг бош щарфи билан белгиланади.
Таърифга кыра
Pm= Amm = m(m-1) (m-2) ... 3 .2. 1 = m ! (2)
Шунингдек Amn = m(m-1 ) (m-2)... (m-(n-1))= m(m-1)(m-2)... (m-(n-1))(m-n)(m-n-1)...... 3.2.1 / (m-n)(m-n-1)...2.1 = m ! / (m-n) ! = Pm / Pm - n , яъни
Amn = Pm / Pm - n . (3)
3.Группалашлар. m элементдан n тадан тузилган группалашлар деб щар бирида n та элемент былиб, бир-биридан камида бирта элементи билан фар= =илувчи бирикмаларга айтилади.
m элементдан n тадан тызилган группалашлар сони Cmn (combination сызининг бош щарфи) билан белгиланади. Таърифдан Cmn Pn =Amn. Бундан
Cmn = Amn / Pn (4)
Демак,
Cmn = m(m-1)(m-2)... (m-(n-1)) / n! . (5)
(3) ва (4) дан
Cmn = Pm / Pm - n P n . (6)
(6) дан (2) га кыра
Cmn = m! / n! (m-n)! . (7)
Хоссалари :
10. Cmn = Cmm-n .
Ща=икатдан щам (6) Cmm-n = Pm / Pm - n Pm-m+n = Pm / Pm - n P n = Cmn .

20. Cmn + Cmn+1=Cm+1n+1 .


Исботи.
Cmn + Cmn+1= m(m-1)(m-2)... (m-(n-1)) / n! + m(m-1)(m-2)... (m-(n-1))(m-n)/
/ n!(n+1) = m(m-1)(m-2)... (m-(n-1))(m+1) / (n+1)! = Cm+1n+1 .
Биз Cm0= 1 деб белгилаб оламиз.


Ньютон биноми. Бизга ырта мактаблардан маълумки
a+b = a+b
(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a+b)3 = a3+3a2b +3ab2+b3.
Энди (a+b)n ни щам шу тарзда езиш мумкин эканлигини исботлаймиз, яъни ушбу тенглик ыринли:
(a+b)n = an+nan-1b +(n(n-1)/2!) an-2b2+(n(n-1)(n-2)/ 3!) an-3b3+ .... +bn . (8)
Бу формулани исботлаш учун, аввало =уйидаги тенгликнинг ихтиёрий натурал сон n учун ыринли эканлигини кырсатамиз: (a+b1)
(a+b2) (a+b3) .... (a+bn) = an+ s1 an-1 + s2 an-2 + s3 an-3 +.... + sn, (9)
бу ерда
s1 = b1+b2+ ....+bn
s2 = b1 b2 +b1 b3 + .... +bn-1 bn
s3 = b1 b2 b3+ b1b2 b4 + .... + bn- 2bn-1 bn (10)
................................................................
sn = b1 b2 ... bn .

(9) -тенглик n=1 да ыринли (a+b1)1 = (a+b1). Энди фараз =илайлик (9) тенглик n>1 учун ыринли былсин. Биз унинг n+1 учун щам ыринли эканлигини исботлаймиз. (9) нинг иккала томонини (a+bn+1) га кыпайтирамиз. У щолда
(a+b1) (a+b2) (a+b3) .... (a+bn) (a+bn+1) =
= an+1+ S1 an + S2 an-1 + S3 an-2 +.... + Sn a + Sn+1 ,
бу ерда
S1 = s1+bn+1 = b1+b2+ ...+bn+bn+1
S2 = s2+ s1bn+1 = b1 b2 +b1 b3 + .... +bn bn+1
S3 = s3+ s2bn+1 = b1 b2 b3+ b1b2 b4 + .... + bn- 1bn bn+1
...................................................................................
Sn = b1 b2 ... bn + ... + b2 b3 ... b1 b2 ... bn
Sn+1 = b1 b2 ... bn bn+1 .
Демак (9) формула ихтиёрий n натурал сон учун ыринлидир.
Агар (9) да b1 =b2 = ... =bn = b деб олсак :
(a+b)n = an+ Cn1an-1b + Cn2 an- 2 b2+ Cn3 an-3b3+ .... + Cnnbn (11)
Бунда (5) формуладан фойдалансак (8) келиб чи=ади .
(11) ни =уйидагича ёзиш мумкин :
(a+b)n = Cn0an+ Cn1an-1b + Cn2 an- 2 b2+ Cn3 an-3b3+ .... + Cnnbn (12)
Маълумки Cnp = Cnn-p былгани учун Ньютон биноми формуласидаги бошдан ва охиридан бир хил узо=ликда турган щадларнинг коэффициентлари (биномиал коэффициентлар) тенгдир.
Агар (12) да a=b деб олсак :
2n = Cn0+ Cn1 + Cn2 + Cn3+ .... + Cnn ;
агарда a=1, b= -1 деб олсак: 0 =Cn0- Cn1 + Cn2 - Cn3 + .... + Cnn(-1)n ёки бундан Cn0+Cn2 + Cn4 + Cn6 + .... = Cn1+ Cn3 + Cn5 + Cn7 + ....,
яъни жуфт ыриндаги биномиал коэффициентлар йи\индиси то= ыринда турган биномиал коэффициентлар йи\индисига тенг.
Мисоллар :
(a+b)0 = 1 1
a+b = a+b 1 1
(a+b)2 = a2+2ab+b2 1 2 1
(a+b)3 = a3+3a2b +3ab2+b3 1 3 3 1
(a+b)4 = a4+4 a3b+6a2b2+4ab3+ b4 1 4 6 4 1
(a+b)5 = a5+5a4b+10a3b2+10a2b3 +5ab4+b5 1 5 10 10 5 1
......................................................................... ............................................

Бу ёйилмалардаги биномиал коиффициентларни Паскал учбурчаги деб аталувчи ынг томонда келтирилган учбурчак ёрдамида ани=лаш мумкин.


Мавзуни мустащкамлаш учун саволлар.

1. Пеано аксиомаларини айтинг.


2. Математик индукция методининг мощияти ща=ида гапириб беринг.
3. Теоремалар ва уларни исботлаш усуллари ща=ида нималарни биласиз?
4. Бирлашмалар =андай турларга былинади?
5. m элементдан n тадан (1 n m) тызилган ыринлаштиришларга таъриф беринг.
6. m элементдан тызилган ырин алмаштиришларга таъриф беринг ва уларнинг сонини щисоблаш формуласини ёзинг.
7. m элементдан nтадан(1 n m) тызилган группалашлар деб нимага айтилади?
8. Ньютон биноми формуласини езинг.
9. Биномиал коэффициентлар =андай хоссаларга эга?
10. Паскал учбурчаги ва биномиал коэффициентлар орасида =андай бо\ланиш бор?


8-МАЪРУЗА
МАВЗУ: АЛГЕБРАИК АМАЛ АНИ+ЛАНГАН ТЫПЛАМЛАР ВА АЛГЕБРАЛАР
РЕЖА:
1. Бинар, n-ар алгебраик амаллар. Алгебра тушунчаси.
2. Бинар алгебраик амалларнинг хоссалари .
3. Нейтрал элементлар .
4. Регуляр элементлар .
5. Симметрик элементлар .
6. Алгебраик амалга нисбатан ёпи= тыплам. Мисоллар.
7. Амалларнинг аддитив ва мультипликатив ёзуви.
АДАБИЕТЛАР [ 1 ,2].

Щозирги замон алгебраси тыплам ва унинг элементлари учун ани=ланган алгебраик амаллар ва уларнинг хоссаларини ырганади. Фараз этайлик бизга быш былмаган А тыплам берилган былсин.


1- таъриф. АХА ту\ри кыпайтмани А тыпламга мос =ыювчи  : АХAА акслантиришга А тыпламда ани=ланган бинар алгебраик амал дейилади.
Таърифга асосан (a,b), (a,b  А ) тартибланган жуфтликка cA элемент мос келгани щолда (b,a) га c элемент мос келмасдан бош=а бир dА элемент щам мос келиши мумкин.  акслантириш ёрдамида a  b АХА жуфтликка сА элементнинг мос =ыйилиши (a,b)=c, (a,b) = c, a b=c кыринишда белгиланади. Одатда кыпчилик щолларда бинар алгебраик амалларни белгилаш учун махсус *, +, , t, ... белгилар щам ишлатилади. Мактаб математика курсидан маълум былган арифметик =ышиш ва кыпайтириш амаллари щам бинар алгебраик амалларга мисол была олади.
2-таъриф. Агар An=АХАХ ...ХА декарт кыпайтманинг щар бир (a1, a2,...,an) элементига А тыпламнинг ягона an+1 элементи мос =ыйилган былса, А тыпламда ранги n га тенг былган ( n ыринли, n-ар) алгебраик амал ани=ланган дейилади.
n-ар алгебраик амални билан белгиласак (a1 , a2 ,..., an) = an+1. Баъзи щолларда an+1A былиши мумкин. Бундай щолларда =аралаётган алгебраик амал А тыпламдаги =исмий алгебраик амал деб юритилади.
Алгебраик амаллар ноль, бир, икки, уч,... ыринли былиши мумкин. Улар мос равишда нулар, унар, бинар, тернар,..., n-ар алгебраик амал дейилади.
1). А тыпламнинг исталган элементини алощида олиш - нулар алгебраик амалдир.
2). P(M)-M тыпламнинг барча =исм тыпламлари тыплами былсин. Щар бир А P(M) тыпламга унинг тылдирувчиси А' =M\А ни мос =уювчи акслантириш унар алгебраик амалга мисол былади.
3). Натурал сонлар тыпламидаги айириш амали =исмий алгебраик амалга мисол былади.
4). Бутун сонлар тыпламидаги былиш амали щам бутун сонлар тыпламидаги =исмий алгебраик амалдир.
5). n та натурал сонлар a1 , a2 ,..., an га уларнинг энг катта умумий былувчиси d ни мос =уювчи амал n-ар алгебраик амалдир.
Бирта А тыпламда ани=ланган барча алгебраик амаллар f1 , f2 ,..., fs былсин.
3-таъриф. Быш былмаган А тыплам ва унда ани=ланган алгебраик амаллар тыплами дан тызилган   жуфтликка алгебра дейилади.
Агар  даги амаллар сони чекли былса, улар санаб кырсатилади, яъни А f1 , f2 ,..., fs  кыринишда ёзилади.   былса, А тыпламга А алгебранинг асосий тыплами,  га эса асосий амаллар тыплами дейилади. f алгебраик амалнинг ранги r(f) кыринишда белгиланади. (r( f1 ), r(f2 ),..., r(fs)) га А  f1 , f2 ,..., fs алгебранинг типи дейилади.
Масалан,  N  + , .  , ( 2,2,0) типли
Z  + , - ,.  , ( 2,2,2) типли
P(M)   ,  ,   , ( 2,2,1) типли алгебрадир.
Бинар алгебраик амалларнинг хоссалари. Фараз этайлик,  ва t лар А тыпламдаги ихтиёрий бинар алгебраик амаллар былсинлар.
Агарда А тыпламнинг ихтиёрий a,b элементлари коммутатив учун a b = = b a тенглик ыринли былса,  амални А тыпламдаги коммутатив алгебраик амал дейилади.
Агар А тыпламнинг ихтиёрий a,b,c A элементлари учун (at b)t c=at(b t c) тенглик бажарилса , t алгебраик амалга А тыпламдаги ассоциатив бинар алгебраик амал дейилади .
Агар А тыпламнинг ихтиёрий a,b,c А элементлари учун (a  b) t c= =(a t c )  (b t c) тенглик ыринли былса, t алгебраик амал  амалга нисбатан дистрибутив алгебраик амал дейилади.
Агар  амал ассоциатив былса, (a b) c ёки a (bc) ёзувда =авсларни тушириб =олдириш мумкин.
Мисоллар. 1). Сонлар тыпламлари N, Z, Q, R даги арифметик =ышиш ва кыпайтириш амаллари коммутатив ва ассоциативдир. Шунингдек, бу тыпламларда кыпайтириш =ышишга нисбатан дистрибутив щам с.(a+b)=c.a+c.b, лекин =ышиш кыпайтиришга нисбатан дистрибутив эмас: (c.a)+b  (c+b).(a+b).
2). Z даги айириш амали ва даражага кытариш амаллари коммутатив эмас: a-b b-a; ab ba.
Бу айириш ва даражага кытариш амаллари ассоциатив щам эмас.
3). Р(М) тыпламда ани=ланган , амаллари коммутатив, ассоциатив ва щар бири иккинчисига нисбатан дистрибутив щамдир.
Нейтрал элементлар.t А тыпламда ани=ланган бинар алгебраик амал былсин. Агар А тыпламнинг ихтиёрий aА учун А да at ё=а (еtа=а) шартни =аноатлантирувчи е элемент мавжуд былса, е га ынг (чап) нейтрал элемент дейилади.
Агарда а А учун а t е= е t а былса, у щолда е га нейтрал элемент дейилади.
1-теорема. Агар t бинар алгебраик амалга нисбатан нейтрал элемент мавжуд былса, у ягонадир.
Ща=икатдан щам агар е ва е' ларни нейтрал элементлар десак:
at e=et a=a ва at е' = е't a =a былиши керак. У щолда e= е't e= е' .
Натижа. Агар t амалга нисбатан нейтрал элемент мавжуд былса, барча ынг ва чап нейтрал элементлар шу нейтрал элемент билан устма-уст тушади.
Мисоллар. 1). Z, Q, R сонлар тыпламларида =ышишга нисбатан нейтрал элемент 0 сонидир. Бу тыпламларда кыпайтиришга нисбатан нейтрал элемент 1 сонидир.
N-натурал сон тыпламида =ышишга нисбатан нейтрал элемент мавжуд эмас, кыпайтиришга нисбатан эса 1 дир.
2). P(M) тыпламидаги амалга нисбатан нейтрал элемент  тыплам;  амалга нисбатан нейтрал элемент эса U- универсал тыплам былади.
Регуляр элементлар. Агар а А элемент ихтиёрий b, с А элементлар учун аtb= аtc(btа=сtа) тенгликлан b=c келиб чи=са, а га t амалга нисбатан А тыпламдаги ынг регуляр (чап регуляр) элемент дейилади.
Агар а А элемент t амалга нисбатан чап ва ынг регуляр элемент былса, у щолда ынга регуляр элемент дейилади.
Шундай =илиб, агар а регуляр элемент былса аt b= аtc тенгликни а га =ис=артириш мумкин.
Мисоллар: 1). Щар бир бутун сон =ышиш амалига нисбатан регулярдир.
2). Нолдан фар=ли щар бир бутун сон кыпайтиришга нисбатан регуляр. 0 эса регуляр эмас.
3). N тыпламда даражага кытариш ax= ay  x=y (a>1) хоссага эга былгани учун 1 дан бош=а барча элементлар бу амалга нисбатан ынгдан регуляр ва xa= ya былгани учун N нинг барча элементлари чапдан регулярдир.
2- теорема. Агар а ва b элементлар ассоциатив бинар t амалга нисбатан регуляр былсалар, уларнинг композицияси аt b щам t амалга нисбатан регуляр былади.
Исботи. а ва b лар регуляр былгани учун at c = at d дан c=d ва
bt c =b t d дан c= d келиб чи=ади. Энди фараз этайлик, c ва d элементлар (at b)t c = (at b)t d шартни =аноатлантирсин. У щолда t нинг ассоциативлигидан (at b)t c=at(b t c) ва (at b)t d =at(btd). Буларнинг чап томонлари тенг былганлиги учун ынг томонлари щам тенг былиши керак:
at(b t c) = at(b t d)  b t c = b t d  с=d. Демак, а А элемент элемент ынгдан регуляр экан. Чапдан регулярлиги щам шу усулда кырсатилади.
Симметрик элементлар. Фараз этайлик, t A тыпламдаги нейтрал элементга эга былган бинар алгебраик амал былсин. а А элемент учун аt u=e (ut a=e) шартларни =аноатлантирувчи u А элементга a элементга нисбатан ынг (чап) симметрик элемент дейилади.
Агарда, ata' = a't a= e тенглик ыринли былса, у щолда элемент a элементга симметрик элемент дейилади.
Мисоллар. 1). Z тыпламда =ышиш амалига нисбатан a элементга симметрик элемент -a былади.
2). R тыпламда кыпайтириш амалига нисбатан a (a 0) элементга симметрик элемент 1/a былади. 0 учун эса бу щолда симметрик элемент мавжуд эмас.
3-теорема. Ассоциатив t амалга нисбатан a элементга симметрик элемент мавжуд былса, у ягонадир.
Исботи. Фараз этайлик, u,v лар a га симметрик элементлар былсин. У щолда atu = ut a= e ва atv = vt a= e. t амалнинг ассоциатив эканлигидан u= ute= = ut (atv)=(uta)tv = etv= v.
Натижа. Агар a га t амалга нисбатан симметрик элемент a' мавжуд былса, у щолда a элементнинг барча ынг ва чап симметрик элементлари a' га тенг былади.
4-теорема. Агар a ва b элементлар учун ассоциатив t амалга нисбатан симметрик a' ва b' элементлар мавжуд былса, у щолда at b га симметрик элемент щам мавжуд ва у b't a' дан иборат былади.
Ща=икатан щам, (at b) t (b't a' )=((at b) t b')t a' =( at (bt b'))t a' =( atе)t a' =аt a' = е.
Натижа. Агар а элемент учун ассоциатив t амалга нисбатан симметрик элемент a' мавжуд былса, а элемент t амалга нисбатан регуляр элемент былади.
Ща=икатан щам, аt a' = a't a= е былиб, аt b= аtc былсин. У щолда a't(at b)=a't(atc) ёки (a'ta)t b=(a'ta)tc бундан эса et b= etc  b= c.
Фараз этайлик, A тыпламда t - бинар амал ани=ланган былсин ва ВА былсин.
Агарда a,b B, at b B былса, у щолда В тыпламга t амалга нисбатан ёпи= тыплам дейилади.
4-теоремадан келиб чи=адики, ассоциатив бинар амал t га нисбатан симметрик элементга эга былган барча элементлар тыплами t амалга нисбатан ёпи=дир. B A былса, A да ани=ланган t амал, B да бирор t ' бинар алгебраик амални ани=лайди: at' b= at b, a,b B.
Бу щолда t амалга В тыпламда ани=ланган t' амалнинг А даги давоми дейилади.
Агарда t амал у ёки бу маънода арифметик =ышиш (кыпайтириш) амали билан бо\ли= былса, ынга аддитив (мультипликатив) алгебраик амал дейилади ва + () билан белгиланади. Бу щолда нейтрал элементга ноль 0 (1 бирлик) элемент, симметрик элементга эса =арама-=арши (тескари) элемент дейилади.

Yüklə 1,93 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   24




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin