Analitik geometriya elementlari

1- misol. 16x² – 9y² - 144 = 0 giperbolaning o‘qlarini, uchlarini, ekssentrisitetini toping, asimptotalarining tenglamalarini yozing hamda yasang.

Ozod hadni o‘ng tomonga o‘tkazamiz va berilgan tenglamaning barcha hadlarini unga bo‘lamiz. Natijada giperbolaning kanonik tenglamasini hosil qilamiz:

Bu yerda a = 3, b = 4 yoki haqiqiy o‘qi 2a = 6 , mavhum o‘qi 2b = 8 ekan. Uchlari

A_l(-3; 0) va ,A₂(3; 0) va B₁(0 ; -4),B₂(0; 4) nuqtalarda. (2 ) formulaga asosan

bo‘lgani uchun,giperbolaning fokuslari F₁(-5; 0) va

F₂,(5; 0) nuqtalarda bo‘ladi. Giperbolaning ekssentrisiteti esa (3) formulaga asosan

ɛ = c/a, ɛ = 5/3. Nihoyat, giperbola asimptotalari tenglamalari (4) formulaga ko‘ra

y = - 4/3x ,y =4/3x bo‘ladi.Yasash uchun to‘g‘ri burchakli dekart koordinatalar sistemasini quramiz va bu sistemada dastlab asimptotalami yasaymiz. Shundan keyin giperbola uchlari va fokuslarini aniqlab, silliq chiziq bilan giperbolaning grafigini yasaymiz

Parabola

Fokus deb ataiuvchi berilgan nuqtadan va direktrisa deb ataluvchi berilgan to‘g‘ri chiziqdan baravar uzoqlashgan nuqtalaming gcometrik o‘mi parabola deyiladi.

Ox o‘qiga nisbatan simmetrik bo‘lib, uchi koordinatalar boshida, fokusi F( , 0) nuqtada bo‘lgan parabolaning kanonik tenglamasi

ko‘rinishda bo‘ladi. Parabolaning direktrisasi x = tenglama bilan fodalanadi. Ixtiyoriy M(x; y) nuqtasidan fokusgacha bo‘lgan masofa fokal radiusi r = x + formula yordamida aniqlanadi.

Oy o‘qiga nisbatan simmetrik bo‘lib, uchi koordinatalar boshida, fokusi F ( 0, ) nuqtada bo‘lgan parabolaning kanonik tenglamasi

ko‘rinishda bo‘ladi. Parabolaning direkrisasi y = - , tenglama bilan ifodalanadi. Ixtiyoriy M (x; y) nuqtadan fokusigacha bo‘lgan masofa fokal radiusi r = y + formula yordamida aniqlanadi.

1- misol. y² = 4x parabola fokusi koordinatalarini aniqlang va direktrisa tenglamasini tuzing.

Parabola tenglamasining berilishiga ko‘ra 2p = 4, yoki = 1.Shunday qilib,

F( 1; 0) — nuqta parabola fokusi, x + 1 = 0 to‘g‘ri chiziq uning direktrisasi bo‘ladi.

2- misol. Uchi koordinatalar boshida va fokusi F(0; 10) nuqtada bo'lgan parabolaning tenglamasini tuzing.

Parabolaning fokusi Oy o‘qida, uchi esa koordinatalar boshida yotadi, shu sababli va fokus nuqtasining abssissasi manfiy son bo‘lganligi uchun bu parabolaning tenglamasini x² = -2 py ko'rinishda izlash kerak. Parabola uchidan fokusgacha bo‘lgan masofa = 10 bo‘lgani uchun p = 20, 2p = 40 bo‘ladi. U holda parabola tenglamasi x² = 40y² ko‘rinishda bo'ladi.