Andijon davlat universiteti fizika-matematika fakulteti matematika yo

1.4-§Ekvivalentlikdan foydalanib, funksiyalarning limitini topish
Endi funksiyalarning ekvivalentligiga asoslangan holda funksiyalarning
limitini hisoblashda foydalaniladigan teoremani keltiramiz
Teorema. Agar da , bo‘lib ushbu

limit mavjud bo‘lsa, u holda

limit mavjud va

bo‘ladi.

◄ Aytaylik, da , bo‘lsin. Unda
ravshanki, da

bo‘ladi. Bu munosabatlardan foydalanib topamiz:

Misol. Ushbu

limit hisoblansin.

◄ Ravshanki,

Endi va bo‘lishini e’tiborga olib, topamiz:

Demak,

1.5-§.Cheksiz kichik hamda cheksiz katta funksiyalar.
Faraz qilaylik, va funksiyalar to’plamda berilgan bo’lib,

shu to’plamning limit nuqtasi bo’lsin.

Ta’rif. Agar

bo’lsa, funksiya da cheksiz kichik funksiya deyiladi. Masalan,

da funksiya cheksiz kichik funksiya bo’ladi.

Aytaylik, funksiya to’plamda berilgan bo’lib,
bo’lsin. U holda
funksiya da cheksiz kichik funksiya bo’ladi.

◄ Haqiqatan ham, funksiya limiti ta’rifuga ko’ra

bo’ladi.
Demak, bu holda
bo’ladi. ►

Ta’rif. Agar
bo’lsa, funksiya da cheksiz katta funksiya deyiladi. Masalan, da funksiya cheksiz katta funksiya bo’ladi.

1.6-§ Chekli limitga ega bo’lgan funksiyalarning xossalari
Chekli limitga ega bo’lgan funksiyalar ham yaqinlashuvchi ketma-

ketliklar singari qator xossalarga ega. Ularning isbotlari ham yaqinlashuvchi

ketma–ketliklarning mos xossalari isbotlari kabidir.

to’plam berilgan bo’lib, esa uning limit nuqtasi bo’lsin. Bu

to’plamda funksiya aniqlangan bo’lsin.

1). Agar ushbu limit mavjud bo’lib, bo’lsa,

ning yetarli kichik atrofidan olingan ning qiymatlarida

bo’ladi.

Agar ushbu limit mavjud bo’lib, bo’lsa, ning
yetarli kichik atrofidan olingan ning qiymatlarida

bo’ladi.

2). Agar ushbu limit mavjud bo’lsa, ning yetarli kichik
atrofidan olingan ning qiymatlarida funksiya chegaralangan

bo’ladi.

Eslatma. Funksiya chegaralanganligidan uning chekli limitga ega
bo’lishi har doim ham kelib chiqavermaydi. Masalan, funksiya

chegaralangan ammo da bu funksiya limitga ega emas.

to’plamda va funksiyalar aniqlangan bo’lib, esa ning
limit nuqtasi bo’lsin.

3). Agar argument ning nuqtaning biror atrofidan

olingan barcha qiymatlarida

tengsizlik o’rinli bo’lib, limitlar mavjud bo’lsa, u holda

tengsizlik o’rinli bo’ladi.
4). Agar argument ning nuqtaning biror atrofidan olingan

barcha qiymatlarida

tengsizlik o’rinli bo’lsa va limitlar mavjud bo’lib
bo’lsa u holda

bo’ladi.

Misol. Ushbu

limit topilsin.

◄ Ravshanki, bir tomondan funksiya uchun

tengsizliklar bajariladi., ikkinchi tomondan,

.
Demak, yuqoridagi 4)–xossaga ko’ra . ►


Arifmetik amallar. to’plam berilgan bo’lib, uning limit nuqtasi
bo’lsin. Bu to’plamda aniqlangan va funksiyalarni ko’raylik.

1). Agar da va funksiyalar limitga ega bo’lsa,

funksiya ham limitga ega va
tenglik o’rinli bo’ladi.

2). Agar da va funksiyalar limitga ega bo’lsa,

funksiya ham limitga ega va
tenglik o'rinli bo'ladi.

Natija. Agar da funksiya limitga ega bo’lsa, unda

funksiya ham limitga ega va

tenglik o'rinli bo'ladi.
3). Agar da va funksiyalar limitga ega bo’lib,

bo’lsa, funksiya ham limitga ega va

tenglik o‘rinli bo’ladi.