Andijon davlat universiteti fizika-matematika fakulteti matematika yo

Eslatma. 1) Yuqorida keltirilgan 1) – chi va 2) – chi xossalar
qo’shiluvchilar va ko’paytuvchilar soni ixtiyoriy chekli bo’lgan holda ham

o’rinli bo’lai.

2). da va funksiyalarning yig’indisi, ko’paytmasi va

nisbatidan iborat bo’lgan funksiyalarning limitga ega bo’lishidan bu

funksiyalarnig har birining limitga ega bo’lishi doim kelib chiqavermaydi.

Masalan, funksiyalar yig’indisi bo’lib,

da bo’ladi. Ammo da va funk-

siyalarning har biri limitga ega emas.

Misol. Quyidagi

limit hisoblansin.

_{◄ Sodda almashtirishlar yordamida topamiz:}

Demak,
►

1.7-§.Funksiya limitining mavjudligi haqidagi teoremalar
to’plam berilgan bo’lib, (chekli yoki ) esa shu to’plamning
limit nuqtasi va barcha lar uchun bo’lsin. Bu to’plamda
aniqlangan funksiyani ko’raylik.
Teorema. Agar funksiya to’plamda o’suvchi bo’lib, u
yuqoridan chegaralangan bo’lsa, funksiya nuqtada chekli limitga ega,
yuqoridan chegaralanmagan bo’lsa, uning limiti bo’ladi.
to’plam berilgan bo’lib, (chekli yoki ) esa shu to’plamning
limit nuqtasi va barcha lar uchun bo’lsin. Bu to’plamda
aniqlangan funksiyani ko’raylik.
Teorema. Agar funksiya to’plamda kamayuvchi bo’lib, u
quyidan chegaralangan bo’lsa, funksiya nuqtada chekli limitga ega,
quyidan chegaralanmagan bo’lsa, uning limiti bo’ladi.
Bu teoremalar monoton ketma–ketlikning limiti mavjudligi haqidagi
teoremalar kabi isbotlanadi.
Endi funksiya limitining mavjudligi haqidagi umumiy
teoremani keltiramiz.
to’plam berilgan bo’lib, uning limit nuqtasi bo’lsin. Bu to’plamda
berilgan funksiyani ko’raylik.
Ta’rif. Agar son uchun shunday son topilsaki, argument
ning tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy
va qiymatlarida

tengsizlik o’rinli bo’lsa, funksiya uchun nuqtada Koshi sharti

bajariladi deyiladi.
Misol. Ushbu funksiya uchun nuqtada Koshi shartining bajarilishi ko’rsatilsin.
◄ Haqiqatan son olib, ni deb qaralsa, u holda ning

tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy va qiymatlari uchun quyida-

giga ega bo’lamiz:

Bu berilgan funksiya uchun nuqtada Koshi sharti bajarilishini

ko’rsatadi.►
funksiya uchun nuqtada Koshi shartining bajarilmasligi quyi-
dagini anglatadi:
son olganimizda ham shunday va

tengsizliklarni qanoatlantiruvchi , qiymatlar topiladiki,

bo’ladi.
Masalan, funksiya uchun nuqtada Koshi sharti baja-
rilmaydi. Haqiqatan, olganimizda ham va

nuqtalar uchun bo’lganda bo’lishi ravshan, ammo

bo’ladi.