Andijon davlat universiteti pedagogika fakulteti maxsus sirtqi bo

a) b)

27-rasm.

H va V proyeksiyalar tekisliklari tizimida B nuqta B′ va B″ proyeksiyalari berilgan bo‘lsin

V

( 27,a–rasm). H tekislikni H₁⊥V tekislik bilan almashtirsak, yangi tekisliklar tizimiga ega

H ₁

bo‘lamiz. B nuqtadan H tekislikka perpendikulyar o‘tkazib, bu nuqtaning B′₁ proyeksiyasini yasaymiz. Nuqtaning yangi tekisliklar tizimidagi chizmani yasash uchun ( 27,b–rasm) H₁ tekislikni V tekislik bilan jipslashtiramiz. Chizmada B nuqtaning yangi proyeksiyasini yasash uchun uning B″ proyeksiyasidan O₁x₁ ga o‘tkazilgan perpendikulyarning davomiga B′₁B_x1=B¹B_x masofa

V

qo‘yiladi. Natijada hosil bo‘lgan B′₁ va B″ yangi tekisliklar tizimidagi B nuqtaning chizmasi

H ₁

bo‘ladi. Demak, gorizontal proyeksiya tekisligi almashtirilganda, nuqtaning yangi gorizontal proyeksiyasida y koordinatasi o‘zgarmaydi.

Proyeksiyalar tekisliklarini ketma-ket ikki marta almashtirish. Ayrim geometrik masalalarni yechishda proyeksiyalar tekisliklarini ketma-ket ikki marta almashtirish zarur bo‘ladi.

V

28–rasmda A nuqtaning tizimida berilgan A′ va A″ proyeksiyalari orqali uning yangi A′₁

Н

va A″₁ proyeksiyalarini yasash ko‘rsatilgan. Buning uchun avval V tekislikni V₁ tekislik bilan

V ¹ tizimi hosil qilinadi. Buning uchun chizmada ixtiyoriy vaziyatda O₁x₁ almashtirib,

Н

proyeksiyalar o‘qi tanlab olinadi, A nuqtaning yangi A″₁ proyeksiyasini yasash uchun uning A′ proyeksiyasidan O₁x₁ proyeksiyalar o‘qiga perpendikulyar o‘tkazib, uning davomiga A″A_x masofa

V

qo‘yiladi. Natijada, A nuqtaning tizimidagi yangi A″₁ proyeksiyasi hosil bo‘ladi. A nuqtaning H ₁

V¹ V ¹ tizimga o‘tiladi. Buning uchun ixtiyoriy A′₁ proyeksiyasini yasash uchun tizimdan

Н H₁

vaziyatda joylashgan O₂x₂ o‘qi olinadi va nuqtaning A″₁ proyeksiyasidan O₂x₂ ga perpendikulyar o‘tkazib, uning davomiga A′A_X1 masofa qo‘yiladi. Shunday qilib O₂x₂ tizimda A nuqtaning A″₁ va A′₁ yangi proyeksiyalari hosil bo‘ladi.

V V¹ V ¹

29–rasmda B nuqtaning tizimdan va tizimga o‘tish natijasida hosil bo‘ladigan

H1 Н Н 1

yangi B″₁ va B′₁ proyeksiyalarini yasash ko‘rsatilgan.

Nuqtaning yangi proyeksiyalarini yasash qoidalariga asoslanib, geometrik shakllarning yangi, maqsadga muvofiq bo‘lgan proyeksiyalarini yasash mumkin.

1–masala. Umumiy vaziyatda berilgan AB(A′B′, A″B″) kesmaning haqiqiy uzunligi aniqlash talab etilsin ( 30-rasm).

Yechish. Buning uchun umumiy vaziyatda berilgan AB kesmaga parallel qilib gorizontal yoki frontal proyeksiyalar tekisligini yangi proyeksiyalar tekisligi bilan almashtiriladi. Chizmada masalani yechish uchun uning yangi O₁x₁ proyeksiyalar o‘qini kesmaning biror, masalan, A′B′

V ¹ gorizontal proyeksiyasiga parallel qilib olinadi. Hosil bo‘lgan proyeksiyalar tekisliklari tizimida

Н

AB kesma V₁ proyeksiyalar tekisligiga parallel bo‘ladi va bu tekislikda u haqiqiy uzunligiga teng bo‘lib proyeksiyalanadi.

2–masala. Umumiy vaziyatdagi P(P_N, P_V) tekislikni frontal proyeksiyalovchi tekislik vaziyatiga keltirish talab etilsin ( 31–rasm).

Yechish. Ma’lumki, frontal proyeksiyalovchi tekislikning gorizontal izi Ox o‘qiga perpendikulyar bo‘ladi. Shuning uchun umumiy vaziyatdagi P tekislikni frontal proyeksiyalovchi vaziyatga keltirish uchun yangi O₁x₁ proyeksiyalar o‘qini tekislikning P_N gorizontal iziga ixtiyoriy joydan perpendikulyar qilib olinadi.

Tekislikning yangi P_V1 izining yo‘nalishini aniqlash uchun tekislikning P_V iziga tegishli biror, masalan, A(A′,A″) olib, uning yangi A″₁ frontal proyeksiyasi yasaladi. Tekislikning yangi P_1V izini P_x1 va A″₁ nuqtalardan o‘tkaziladi. Chizmada ko‘rsatilgan α burchak P tekislikning H tekislik bilan tashkil etgan burchagi bo‘ladi.

3–masala. AB(A′B′, A″B″) to‘g‘ri chiziqning umumiy vaziyatdagi Q(Q_H, Q_V) tekislik bilan kesishish nuqtasi yasalsin ( 32–rasm).



28-rasm. 29-rasm. 30-rasm.

Yechish. Masalani yechish uchun Q tekislikni gorizontal yoki frontal proyeksiyalovchi tekislik vaziyatiga keltiramiz. Buning uchun yangi O₁x₁ proyeksiyalar o‘qini tekislikning biror iziga masalan, Q_H ga perpendikulyar qilib o‘tkaziladi. Natijada, tekislikning yangi Q_V1 izini hamda to‘g‘ri chiziqning A″₁ B″₁ proyeksiyasi yasaladi. Hosil bo‘lgan kesmaning A″₁ B″₁ proyeksiyasi bilan tekislik Q_V1 izining kesishgan K″₁ nuqtasi AB kesmaning Q tekislik bilan kesishish nuqtasi bo‘ladi. Bu nuqtani teskari yo‘nalishda proyeksiyalab, berilgan to‘g‘ri chiziq kesmasi bilan tekislikning kesishish nuqtasining K′ va K″ proyeksiyalari yasaladi.

Xuddi shu usul bilan AB(A′B′, A″B″) to‘g‘ri chiziqning ∆CDE(∆C′D′E′, ∆C″D″E″), bilan kesishish nuqtasining F′ va F″ proyeksiyalarini yasaladi ( 33–rasm). Bunda mazkur uchburchak tekislik proyeksiyalovchi tekislik vaziyatga keltiriladi. Buning uchun chizmada ∆CDE tekislikning biror bosh chizig‘iga, masalan, C1(C′1′,C″1″) frontaliga perpendikulyar qilib yangi O₁x₁ proyeksiyalar o‘qini o‘tkaziladi. Uchburchakning C′₁D′₁E′₁ to‘g‘ri chiziq kesmasi tarzida proyeksiyalangan proyeksiyasi va kesmaning A′₁B′₁ yangi proyeksiyalari yasaladi. Ularning o‘zaro kesishgan F′₁ nuqtasi belgilanadi, so‘ngra F nuqtaning frontal F″ va gorizontal F′ proyeksiyalarini yasaladi.

31-rasm.