O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti abdirashidov A., Babayarov A. I

Bosh usul
– bu tenglamaga kirgan funksiya-
larning xossalarini bilish usuli. Masalan, (
x
2
–
3
x
+5)/(2+
x
2
)=0 tenglamaning maxrajini qarab 
o‘tirishga hojat yo‘q, chunki u hech qachon nol-
ga aylanmaydi.
Kichik parametr usuli.
Faraz qilaylik, 
f
(
z
)=0 ni quyidagicha 
f
(
z
)=
Q
(
z
)+

(
z
)=0 ifodalash 
mumkin bo‘lsin, bunda 

(
z
) <<
 Q
(
z
) va 
Q
(
z
) ning 
ildizlari ma’lum. U holda 
f
(
z
) ning ildizlari 
Q
(
z
) 
ning 
ildizlari 
yaqinida 
yotadi. 
Masalan, 
0,001
x
3
+
x
2
–5
x
+6=0 tenglamaning ildizlari ushbu 

(
z
) = 0,001
x
3
va 
 Q
(
z
) = 
x
2
– 5
x
+6 belgilashlarga 
ko‘ra 
x
=2 va 
x
=3 dan bir oz qo‘zg‘algan bo‘ladi 
(2.4-rasm). 
2.4.-rasm. Tenglama ildizlarini 
ajratishning kichik parametlar 
usuliga misol. 
Tenglamaning haqiqiy ildizlarini ShEHM lar yordamida ajratish.
Bu 
algoritm haqiqiy ildiz atrofida funksiya ishorasining o‘zgarishini tekshirishga 
asoslangan. Haqiqatdan ham, agar ildiz haqiqiy bo‘lsa, u holda funksiya grafigi 
absissa o‘qini kesib o‘tadi va bunda funksiya o‘zining ishorasini qarama-qarshisiga 
almashtiradi. 
Funksiyaning aniqlanish sohasida berilgan kesmada chiziqli bo‘lmagan 
tenglamaning ildizlarini ajratish algoritmi va uning sxemasini qaraylik (2.5-rasm). Bu 
algoritm berilgan [
a
,
b
] kesmadagi barcha haqiqiy ildizlarning taqribiy qiymatlarini 
topish imkonini beradi. 
Bu algoritmga ozgina o‘zgartirish kiritish yo‘li bilan undan maksimal yoki 
minimal ildizlar taqribiy qiymatlarini aniqlash uchun ham foydalanish mumkin.

---

55 
2.5-rasm. Tenglamaning haqiqiy ildizlarini ShEHM lar yordamida
ajratishning blok-sxemasi. 

---

56 
Ikkita ildizdan «sakrab o‘tib ketmaslik» uchun noma’lumning Δ
x
orttirmasini 
uncha katta olmaslik kerak. Bu usulning kamchiligi shundaki, undan fodalanilganda 
ko‘p mashina vaqti sarflanadi. 
Shunday qilib, 
f
(
x
) = 0 tenglamaning ildizlarini ajratish jarayonida quyidagi 
holatlar kuzatiladi: 

f
(
x
) funksiyaning aniqlanish sohasida grafigi chizilib, uning 
Ox
o‘qi bilan 
kesishgan nuqtalari topiladi. Bu nuqtalarga mos keluvchi 
x
lar taqribiy yechim 
deb qabul qilinadi;

f
(
x
) funksiyaning grafigi chiziladi va uning absissa o‘qi bilan kesishish 
nuqtalari yotgan taqribiy oraliq aniqlanadi; 

ba’zi hollarda 
f
(
x
)=0 tenglamani 
f
1
(
x
)
=f
2
(
x
) ko‘rinishdagi ekvivalent 
tenglamaga keltirish maqsadga muvofiq, chunki bunday holda 
y
=
f
(
x
) 
funksiyaning grafigidan ko‘ra 
y 
=
 f
1
(
x
) va 
y = f
2
(
x
) funksiyalarning grafiklarini 
chizish osonroq. Bunday holda 
f
(
x
)=0 tenglamaning ildizini 
y 
=
f
1
(
x
) va 
y = 
f
2
(
x
) funksiyalar grafiklarining kesishish nuqtasi absissasi ifodalaydi; 

taqribiy ildiz yotgan [
a
,
b
] kesmaning haqiqatda to‘g‘ri olinganligini analitik 
yo‘l bilan tekshirib ko‘rish mumkin. Buning uchun yana ildizning mavjudlik 
sharti 
f
(
a
)
f
(
b
)<0 dan foydalanamiz. Agar bu shart bajarilsa, u holda [
a
,
b
] kesma 
to‘g‘ri tanlangan bo‘ladi. 
Xulosa 
qilib 
aytganda, 
ildizlarni 
aniqlashtirishni 
uchta 
yo‘nalishga 
guruhlashtirish mumkin: 

f
(
x
i
)=0 tenglamaning yechimi bo‘lishi mumkin bo‘lgan barcha 
x
i
argumentlarni 
saralash yo‘li bilan izlash; 

f
(
x
) funksiyaning ildizlarini topishni unga yaqin bo‘lgan soddaroq funksiya 
(chiziqli, parabolik va boshqa) ildizlarini topishning iteratsion proseduralariga 
almashtirish; 

f
(
x
)=0 tenglamani ushbu 
x
=

(
x
) formulaga keltirish va iteratsion yo‘l bilan 
tenglikning o‘ng va chap taraflari tengligini ta’minlashga intilish. 
Bularga ko‘ra, masalan, skanirlash va biseksiya usullari birinchi yo‘nalishga, 
vatarlar va urinmalar usullari ikkinchi yo‘nalishga va oddiy iteratsiya usuli esa 
uchinchi yo‘nalishga kiradi.