4. Birinchi tur egri chiziqli integrallarning ba’zi tadbiqlari Birinchi tur egri chiziqli integral yordamida egri chiziqning yoy uzunligini, jismning massasini, og‘irlik markazini, statik momentini topish mumkin.
4. Egri chiziqning yoy uzunligini topish. Tekislikda sodda to‘g‘rilanuvchi egri chiziq berilgan bo‘lsin. Bu chiziqda deb faraz qilsak, u holda (1) ga asosan,
.
Demak, .
11.4.2. Jismning massasini topish. Tekislikda uzluksiz sodda egri chiziq berilgan bo‘lib, bu chiziq bo‘ylab biror massa tarqalgan bo‘lsin. Uning chiziqli zichligi berilgan bo‘lsa, bu massa
(7)
integral orqali topiladi.
11.4.3. Egri chiziqning statik momenti va ogirlik markazini topish. massaga ega bo‘lgan M material nuqtaning biror o‘qqa nisbatan statik momenti deb, uning massasini o‘qqacha bo‘lgan masofaga ko‘paytmasiga aytiladi:
.
egri chiziqning elementar bo‘lagini olamiz. Bundagi massa ham ga teng, ya’ni ni material nuqta deb qarasak va bu nuqtadan o‘qqacha bo‘lgan masofani deb belgilasak, u holda bu material nuqtaning statik momenti
bo‘ladi, bunda deb olingan.
Xuddi shunday,
egri chiziqning og‘irlik markazi nuqtada joylashgan va egri chiziqning massasi shu nuqtada joylashgan bo‘lsin, u holda
bundan, .
11.2-teorema (Guldinning birinchi teoremasi). egri chiziqni uni kesib o‘tmaydigan o‘q atrofida aylantirish natijasida hosil bo‘lgan sirtning yuzi , uning markazi chizgan aylana uzunligining egri chiziqning yoy uzunligiga ko‘paytmasiga teng:
. 11.4.4. Tekis sohaning statik momenti va og‘irlik markazining koordinatalarini topish. Yuqoridan tenglamasi ko‘rinishda bo‘lgan egri chiziq bilan, yon tomonlardan va to‘g‘ri chiziqlar bilan, pastdan o‘q bilan chegaralangan tekis soha bo‘ylab biror massa tekis taqsimlangan bo‘lsin, uning sirt zichligi (bir birlik yuzaga tarqalgan massa) o‘zgarmas bo‘lsin, u holda tekis sohaning istalgan qismidagi massa uning yuzi bilan o‘lchanadi. Bu figuraning koordinatalar o‘qlariga nisbatan va statik momentlari,
formulalar bo‘yicha topiladi, og‘irlik markazi ning koordinatalari esa,
formulalardan aniqlanadi, bunda , tekis figuraning yuzi. Bundan
.
11.3-teorema (Guldinning ikkinchi teoremasi). Tekis figurani uni kesib o‘tmaydigan o‘q atrofida aylantirish natijasida hosil bo‘lgan aylanma jismning hajmi, uning og‘irlik markazi chizgan aylana uzunligini tekis figura yuzi ga ko‘paytmasiga teng.
