Bitiruv malakaviy ish mavzuining dolzarbligi: ma’lumki ko’pgina hayotiy masalalarni yechishda matematik modellar quriladi

1.2.1-Teorema. Agar funksiya oraliqda tartibli uzluksiz hosilaga ega bo’lsa, u holda interpolyatsiya qoldiq hadini

(1.2.8)

ko’rinishda ifodalash mumkin. Bu yerda bo’lib, umuman aytganda x ning funksiyasidir.

Isbot ni ko’rsatish uchun yordamchi

funksiyani tekshiramiz, bu yerda noma’lum o’zgarmas koeffitsient. Bu funksiyaning

larda nol qiymatlarni qabul qilishi

ravshan. Noma’lum koeffisiyentini shunday tanlaymizki, funksiya va nuqtalarda nol qiymatni qabul qilsin. Demak,

natijada funksiya oraliqning ta nuqtalarida nolga aylanadi. Roll teoremasiga ko’ra bu oraliqda kamida ta nuqtada nolga aylanadi, da esa kamida ta nuqtada va hokazo, kamida bitta nuqtada nolga aylanadi. Aytaylik bu nuqta bo’lsin, .

undan ning darajali ko’phad ekanligini hisobga olsak:

ya’ni

va bundan hamda dan formulaning o’rinli ekanligi kelib chiqadi.

Nyutonning bo’lingan ayirmali interpolyatsion formulasi. Lagranj interpolyatsion ko’phadning har bir hadi interpolyatsiya tugunlarining hammasiga bo’g’liqdir. Agar yangi tugunlar kiritiladigan bo’lsa interpolyatsion ko’phadni yana qaytadan qurishga to’g’ri keladi. Bu Lagranj interpolyatsion ko’phadining kamchiligidir. Lagranj interpolyatsion ko’phadini shunday tartibda yozish mumkinki, hosil bo’lgan ko’phadning ixtiyoriy i- hadi interpolyatsiya tugunlarining faqat avvalgi i tasiga va funksiyaning shu tugunlarida qiymatlariga bog’liq bo’ladi. Aytilganlarni bo’lingan ayirmalar yordamida bajaramiz:

bu ifodani,

formula bilan solishtirib ko’rsak, kvadrat qavslar ichidagi ifoda ning aynan o’zi ekanligi kelib chiqadi. Demak, biz

deb yozishimiz mumkin.

Endi tugunlari nuqtadan iborat bo’lgan Lagran interpolyatsion ko’phadi bo’lsin. U holda Lagranjning interpolyatsin ko’phadini

(1.2.11)

ko’rinishida ifodalash mumkin.

Bu yerda nuqtalarda nolga aylanadigan m-darajali ko’phad, chunki shuning uchun ham

bunda deb olsak,

ga ega bo’lamiz. Ikkinchi tomondan tenglikda va deb olsak u holda,

shunday qilib, va demak,

bu miqdorlarni tenglikka qo’yib quyidagiga ega bo’lamiz:

bu hosil bo’lgan interpolyatsion ko’phad Nyutonning bo’lingan ayirmali interpolyatsion ko’phadi deyiladi.

tenglikni

tenglik bilan solishtirsak

(1.2.12)

kelib chiqadi.

Endi bir xususiy holni, ya’ni darajali ko’phad

bo’lgan holni qaraylik. formuladan ixtiyoriy lar uchun quyidagiga ega bo’lamiz.

Nyuton interpolyatsion formulasini tuzishda ham Eytken sxemasidan foydalanish mumkin. Quyida Nyuton interpolyatsion formulasining qo’llanilishiga doir misol keltirilgan.