Bitiruv malakaviy ish mavzuining dolzarbligi: ma’lumki ko’pgina hayotiy masalalarni yechishda matematik modellar quriladi

1.3.Variatsion interpolyatsion formulalar

Ko’phadlar bilan yaqinlashtirish nazariyasi P.L.Chebishev, K.Vyershtrass, SH.Valle Pussen, S.N.Bernshteyn va boshqalarning ishlarida ishlab chiqilgan.

Maxsuslikka ega funksiyalar va silliqligi katta bo’lmagan funksiyalar uchun ko’phadlar yaqinlashish apparati sifatida qator kamchiliklarga ega.

(1.3.1)-misol sifatida nemis olimi Runge misolida ma’lum bo’lgan Rungening kontor misolini qarashimiz mumkin.

Faraz qilamiz biz quyidagi funksiyani teng taqsimlangan tugun nuqtalarda Lagranj interpolyatsion formulasi yordamida yaqinlashtiryapmiz.

;

interpolyatsiyalash oralig’ida

sharti qanoatlantiruvchi ba’zi nuqtalar mavjudligini tekshirishimiz mumkin.

Xususan, Lagranj interpolyatsion formulasi ham,

lar uchun uzoqlashuvchidir.

Oxirgi vaqtlarda kamchiliklardan holi bo’lgan yaqinlashtirishning boshqa apparatlari kelib, ishlab chiqilmoqda. Shunday apparatlardan biri, o’zini ham nazariy tomondan ko’rsatgan, bu splaynlardir.

Splayn-funksiyaning ta’rifi: silliqli yuqori bo’lmagan funksiyalar uchun ko’phadlar yaqinlashish apparati sifatida qator noqulayliklarga ega. Bulardan eng asosiysi shunday funksiyalardan iboratki, bunday funksiyalarning biror nuqta atrofidagi holati ularning to’la holati bilan uzviy bog’liqdir. Bundan tashqari interpolyatsion ko’phadlarning nuqsoni sifatida ularning har doim ham interpolyatsiyalanuvchi funksiyaga yaqinlashmasligidir. Eng yaxshi tekis yaqinlashuvchi ko’phadlarning kamchiligi sifatida shuni ko’rsatish mumkinki, ularni qurish juda qiyin va odatda bunday ko’phadning darajasi ortishi bilan koeffitsientlari ham tez o’sib boradi.

Oxirgi vaqtlarda shu nuqsondan holi bo’lgan boshqa yaqinlashish apparatlari ishlab chiqilmoqda. Nazariy tadqiqot va tadbiqlarda yaxshi natija beradigan apparat-splayn funksiyalar apparatidir.

Splaynning ta’rifi bilan tanishaylik.

Haqiqiy o’qdagi [a,b] oraliqda ushbu

to’p berilgan bo’lsin. Faraz qilaylik, darajasi m dan ortmaydigan ko’phadlar to’plami

o’zi va k-tartibli hosilalar oraliqda uzluksiz bo’lgan funksiyalar va shu oraliqda berilgan hosilalari ham uzluksiz funksiyalarning qiymatlari funksiyalar to’plami bo’lsin.

1.3.1-Ta’rif: Quyidagi ikkita shartni qanoatlantiruvchi ushbu

Funksiya deffekti 1 ga teng bo’lgan m-darajali polinominal splayn deyiladi.

1.Har bir oraliqda

2.

bu yerda nuqtalar splayn tugunlari deyiladi. splaynning m-hosilasi oraliqda uzilishga ham ega bo’lishi mumkin.

Agar lar uchun

tengliklar bajarilsa, splayn b-a davrli davriy splayn deyiladi.

Ta’rifni qanoatlantaruvchi splaynlar bilan bir qatorda shunday splaynlar ham qaraladiki, ularning silliqligi to’rning turli qismlarida turlichadir. Bunday splaynlar oraliqning turli qismlarida turli silliqlikka ega bo’lgan funksiyalarni yaqinlashtirishda foydalaniladi.

Odatda, splayn yagona ravishda aniqlanishi uchun oraliqning chetki a va b nuqtalarida chegaraviy shartlar deb ataluvchi qo’shimcha shartlar qo’yiladi. amalda uchinchi darajali, ya’ni kubik splaynlar keng qo’llaniladi.

Splaynlarning hisoblash matematikasida keng qo’llanilayotganligi sabablaridan yana biri ularning qiymatlarini elektron hisoblash mashinalarda hisoblashning qulayligi va ular yordamida interpolyatsiyalash kabi masalarning keng sinfdagi to’rlar uchun yaxshi yaqinlashishidir.

Bundan buyon interpolyatsion kubik va chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi splaynlar bilan shug’ullanamiz.

Interpolyatsion kubik splaynlar qurish. Oldingi punktda aytilganidan so’ng quyidagi ta’rifni bera olamiz.

Ta’rif: Quyidagi to’rt shartni qanoatlantiruvchi ushbu

funksiya interpolyatsion kubik splayn deyiladi:

1.Har biri oraliqda

2.

3.To’rning tugunlarida tenglik o’rinli;

4 uchun

Chegaraviy shartlar bajariladi.

Bu to’rt shartni qanoatlantiruvchi yagona splayn mavjudligini ko’rsatamiz. Buning uchun avval quyidagi yordamchi shartlarni keltiramiz.

Lemma. Faraz qilaylik n-tartibli kvadrat matritsaning elementlari

(1.3.2)

shartni qanoatlantirsin. U holda sistema yagona yechimga ega bo’lib,uning yechimi

tengsizlikni qanoatlantiradi.

Isbot. Agar sistemaning ozod hadlari nolga teng bo’lsa, u holda tengsizlikdan bu sistemaning faqat trivial yechimga ega ekanligini, demak, bo’lishi va bu sistemaning ixtiyoriy ozod hadlar uchun yagona yechimga egaligi kelib chiqadi. Shuning uchun ham lemmani isbotlash uchun

tengsizlikni keltirib chiqarish kifoyadir. Faraz qilaylik, shart bajarilsin va bo’lsin. U holda ekanligidan

bo’ladi. Shu bilan tengsizlik va demak, lemma isbotlandi.

Agar matritsaning elementlari shartni qanoatlantirsa, bunday matritsa salmoqli bosh diagonalga ega deyiladi.

Endi splayn qurish bilan shug’ullanamiz, ning ikkinchi hosilasi to’rning har biri oraliqda uzluksiz bo’lganligidan da ushbu

(1.3.4)

tenglikni yoza olamiz. Bu yerda va Bu tenglikning har ikki tomonini integrallab, quyidagiga ega bo’lamiz:

(1.3.5)

Bunda va integrallash doimiylari bo’lib, ular va shartlardan aniqlanadi.(1.3.5) da larni o’rniga qo’yib, mos ravishda

va

larni hosil qilamiz. Bundan va larni topib ga qo’ysak, natijada

larga ega bo’lamiz. Oxirgi tenglik oraliq uchun quyidagi ko’rinishga ega:

Endi da ning ga chapdan va da x ning ga o’ngdan intilgandagi, ya’ni lar uchun hosilaning bir tomonlama limitlarini hisoblaylik.

ta’rifning ikkinchi shartiga ko’ra va funksiyalar [a,b] oraliqda uzluksiz. ning nuqtalarda uzluksizligidan foydalansak, quyidagi n-1 ta tenglamaga ega bo’lamiz:

Bu tenglamalarni (1.3.1) chegaraviy shartdan kelib chiqadigan

(1.3.10)

tengliklar bilan to’ldirib,

belgilarni kiritsak, u holda noma’lumlarni topish uchun

(1.3.12)

tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.(1.3.11) ga ko’ra (1.3.12) sistemaning matritsasi salmoqli bosh dioganalga ega bo’lganligi tufayli ixtiyoriy lar uchun (1.3.12) sistema yagona yechimga ega. Shunday qilib, 1-4-shartlarni qanoatlantiruvchi yagona splayn mavjud ekan (1.3.12)sistemani yechishning haydash usuli deb ataluvchi juda ham effektiv algoritmi mavjud. Uni quyida keltirib o’tamiz. Buning uchun barcha lar uchun

(1.3.13)

yordamchi miqdorlarni hosil qilamiz. So’ngra (1.3.12) sistemaning tenglamalaridan ketma-ket larni yo’qotib, ushbu

(1.3.14)

ekvivalent sistemaga ega bo’lamiz. Bundan esa ketma-ket

larni aniqlash mumkin.

Salmoqli bosh dioganalga ega bo’lgan matritsalar uchun bu hisoblash sistemasi shu ma’noda turg’undirki, xato tezda boradi Buni (1.3.13) va (1.3.14) dan osonlik bilan ko’rishimiz mumkin. Shuni ham ta’kidlash kerakki, va ar faqat to’rga bog’liq emas. Bu esa muayyan to’r uchun va larning qiymatlarini bir marta hisoblab olib, to’r tugunlaridagi turli xil ordinatalar bilan splaynlar qurishga imkon beradi. Quyidagi jadvalda splayn qurish natijalarini ko’ramiz. (funksiya jadvali)

xk	fk	hk	ak	bk	ck	dk	pk	qk	uk	mk
x1	F1	h1	a1	b1	c1	d1	p1	q1	u1	m1
x2	F2	h2	a2	b2	c2	d2	p2	q2	u2	m2
…	…	…	…	…	…	…	…	...	…	…
xn-1	fn-1	hn-1	an-1	bn-1	cn-1	dn-1	pn-1	qn-1	un-1	mn-1
xn	fn	hn	an	bn	cn	dn	pn	qn	un	mn

(1.2.2)-jadval

Agar to’r tekis,ya’ni tugunlar teng uzoqlikda joylashgan bo’lsa, u holda bu sxema yanada soddalashadi: h_k,a_k,b_k,c_k ustunlarni yozmaslik ham mumkin.

Shunday qilib,funksiyaning qiymatlari berilgan bo’lsa, bu qiymatlardan foydalanib (1.3.6) formula yordamida splayn –funksiyalar bilan ni interpolyatsiyalash mumkin. (1.3.7) formula yordamida esa uning hosilasini topish mumkin.

Kubik splayb –funksiyalar, yuqorida aytib o’tganimizdek, yaxshi yaqinlashish xossasiga ega. Agar interpolyatsiyalanadigan funksiya sinfga tegishli bo’lsa, u holda uning xatosi uchun quyidagi bahoni ko’rsatish mumkin:

,

Bu yerda c to’rga bog’liq bo’lmagan o’zgarmas bo’lib,

I bobning xulosasi.Bu bob Asosiy tushunchalar bo’lib, unda funksiyalarni interpolyatsiyalash masalasining qo’yilishida, interpolyatsiyalash tushunchasi yoritib berilgan. Interpolyatsiya so’zining mohiyati yoritilgan.

Klassik interpoyatsion, Lagranj interpolyatsion formulalari va ularga doir misollar yechib ko’rsatilgan. Nyutonning bo’lingan ayirmali interpolyatsion formulasi va unga doir misollar yechib ko’rsatilgan.

Variatsion interpolyatsion formulalarda splayn funksiyaning ta’rifi,splaynlarning hisoblash matematikasida keng qo’llanilayotganligi interpolyatsion kubik splayn ta’rifi, splaynni qurish masalasi yoritib berilgan.