Çevrə VƏ daiRƏ Çevrə. Dairə

§3. Çevrənin uzunluğu

Radiusu R olan çevrənin uzanmayan sapdan olduğunu təsəvvür edək. (Şək. 76) Bu çevrəni A nöqtəsində kəsərək düzləndirək. Alınan AB parçasının uzunluğu çevrənin uzunluğu olacaqdır. Çevrənin uzunluğunu C ilə işarə edib, onu radiusla ifadə edək.

R adiusu R olan çevrə verilmiş olsun. Onun daxilinə düzgün n bucaqlı çəkib, onun tərəflərinin sayını ikiqat artıraq (Şək. 77) Bunun üçün mərkəzdən n-bucaqlının tərəflərinə endirilmiş perpendikulyarın çevrə ilə kəsişdiyi nöqtələr tapılır. Bu nöqtələri əvvəlki təpə nöqtələri ilə birləşdirdikdə alınan çoxbucaqlının tərəflərinin sayı əvvəlkindən iki dəfə çox olacaqdır. Veilən n bucaqlının tərəfi AB= olarsa, , və s. olar. -dən AB< + və ya <2 , buradan isə n∙
< < <...< <...

münasibətini almış olarıq.

Verilən çevrənin xarıcınə düzgün n bucaqlı çəkək (Şək. 78) və onun tərəflərinin sayını ikiqat artıraq. Göstərmək olar ki, bu halda alınan düzgün çoxbucaqlıların perimetrləri ardıcıllığı üçün

> > >...> >...

münasibəti doğrudur. Aydındır ki, < . Bu münasibətlərdən ardıcıllığının artan, ardıcıllığının isə azalan olması çıxır. Özü də ardıcıllığı yuxarıdan, ardıcıllığı isə aşağıdan məhduddur.

Eyniadlı düzgün çoxbucaqlıların oxşarlığından

Münasibəti alınır. Burada daxilə, R xaricə çəkilmiş çoxbucaqlıların apofemidir.

Tərəflərinin sayını ikiqat artırdıqda daxilə çəkilmiş çoxbucaqlının apofemi, çevrənin radiusuna yaxınlaşdığından və nisbətləri yaxınlaşır. Odur ki, və parametrləri eyni bir ədədə yaxınlaşır.

Tərif. Çevrənin daxilinə və xaricinə çəkilmiş düzgün çoxbucaqlıların tərəflərinin sayını ikiqat artırdıqda, onlardan birinin perimetri artaraq digərinin perimetri isə azalaraq eyni bir ədədə yaxınlaşır ki, bu ədədə həmin çevrənin uzunluğu deyilir və c ilə işarə olunur, yəni və .

c ədədini tapmaq üçün əvvəlcə aşağıdakı teoremi isbat edək:

Teorem. İki çevrənin uzunluqları nisbəti onların diametrlərinin nisbətinə bərabərdir:

,

Burada R və uyğun çevrələrin radiuslarıdır.

İsbatı. Uzunluğu c olan çevrə daxilinə çəkilmiş n-bucaqlının perimetri , uzunluğu olan çevrə daxilinə çəkilmiş n-bucaqlının perimetri isə olsun. Daxilə çəkilmiş düzgün çoxbucaqlı üçün

olduğundan

,

olur. Eyni qayda ilə

Son bərabərlikləri tərəf-tərəfə bölüb , şərtlərini nəzərə alsaq:

Buradan isə

alınar. Sonuncu bərabərliyi

şəklində yazmaqla, aşağıdakı nəticəni alarıq:

Nəticə. Çevrə uzunluğunun, öz diametrinə nisbəti sabit kəmiyyətdir. Bu sabit kəmiyyəti π hərfi ilə işarə edirlər, yəni

.

Hələ b.e.ə. III əsrdə yaşamış Arximed π ədədi üçün 3,14 qiymətini təklif etmişdir. Bu qiymət π ədədi üşün 0,002-yə qədər dəqiqliklə qiymətdir. İsbat olunmuşdur ki, π irrasional ədəddir. Hesablamalarda götürülür.

Teoremə görə olduğundan çevrənin uzunluğu üçün C=2 πR düsturunu alırıq.

Təpəsi çevrənin mərkəzində olan bucağı verilmiş olsun. (Şək. 79) Çevrənin bu bucaq daxilində olan hissəsi, həmin mərkəzi bucağa uyğun çevrə qövsüdür. İndi həmin qövsün uzunluğunu tapaq. Bir dərəcəli bucağa uyğun qövs olduğundan -li bucağa uyğun çevrə qövsü

.

Əgər bu bucağın ölçüsü radianla verilərsə, yəni olarsa, onda qövsün uzunluğu l= olar. Burada α-bucağın radian ölçüsüdür.