Chiziqli fazo ta`rifi va xossalari 6
Yüklə 1,36 Mb.
|
|
L(V ,V )
dagi A chiziqli operator teskari operatorga ega bo`lishi uchun u V ni V ga bir qiymatli o`tqazishi zarur va etarli. ta`rif. A chiziqli operatorning yadrosi deb V fazoning Ax 0 tenglikni bajaruvchi x elementlari to`plamiga aytiladi. A chiziqli operatorning yadrosi ker A orqali belgilanadi. Agar qiymatli o`tqazadi. ker A 0 bo`lsa, u holda A operator V ni V ga bir ker A 0 shart A operatorni teskari operatorga ega bo`lishini zaruriy va etarli sharti bo`ladi. ta`rif. A chiziqli operatorning obrazi deb V fazoning ko`rinishda ifodalanadigan elementlari to`plamiga aytiladi. A chiziqli operatorning obrazi imA orqali belgilanadi. Agar ker A 0 bo`lsa, i m A V bo`ladi va aksincha. Shu sababli imA V shart ham A operatorni teskari operatorga ega bo`lishini zaruriy va etarli sharti bo`ladi. Ravshanki, ker A va imA V fazoning chiziqli fazo ostisi bo`ladi. teorema. V fazoning dimV o`lchovi n ga va A L(V ,V ) dagi chiziqli operator bo`lsin, u holda dim(imA) dim(ker A) n bo`ladi. teorema. V1 va V2 lar n o`lchovli V chiziqli fazoning qism fazolari va dimV1 dimV2 dimV bo`lsin, u holda L(V ,V ) da shunday chiziqli A operator topiladiki, V1 imA va V2 ker A bo`ladi. songa aytiladi. RangA dim(imA) Natija. uchun L(V ,V ) dagi A chiziqli operator A 1 RangA dimV n teskari operatorga ega bo`lishi bo`lishi zarur va etarli. 6-teorema. A va B L(V ,V ) dagi chiziqli operatorlar bo`lsin, u holda rangAB rangA, rangAB rangB . 7-teorema. A va B L(V ,V ) dagi chiziqli operatorlar va V n o`lchovli chiziqli fazo bo`lsin, u holda rangAB rangA rangB n Natija . Agar rangA n ( n V fazoning o`lchovi), u holda rangAB rangBA rangB Chiziqli operatorlarni matritsali yozivi. Chiziqli V fazoda berilgan bazisdagi chiziqli operatorlarni matritsalari. V fazodagi e1 ,e2 ,...,en bazisni fiksirlaymiz, x V dagi ixtiyoriy element va k (1) esa bu x elementni berilgan bazisdagi yoyilmasi hamda A esa chiziqli operator bo`lsin u holda (1) dan L(V ,V ) dagi k (2) Aek n k j a je j 1 (3) j deb olsak, (2) ni quyidagicha yozamiz: n n k j ( j 1 k 1 a j x j )e Shunday qilib, y bo`lsa u holda Ax va y ( y1 , y2 ,...,yn ) elementning koordinatalari n k y j a j x j , j k 1 1,2,..., n (4)
Ushbu A= (a j ) kvadrat matritsani qaraylik, bu matritsa berilgan e ,e ,...,e k 1 2 n bazisdagi А chziqli operatorning matritsasi deyiladi. Oldingi ko`rsatilgan usul bilan birgalikda uni berilgan bazisdagi matritsaviy yozuvi ham ishlatiladi: Agar x (x1 , x2 ,...,xn ) bo`lsa, u holda y ( y1 , y2 ,...,yn ) dagi y j a k hisoblanadi. Agar A operator nol operator bo`lsa, u holda bu operatorning A matritsasining barcha elementlari ixtiyoriy bazisda nollardan iborat, ya`ni A matritsa nol matritsa bo`ladi. Agar A operator birlik operator bo`lsa, ya`ni A I bo`lsa, u holda bu operatorning ixtiyoriy bazisdagi matritsasi birlik matritsadan iborat bo`ladi, ya`ni A= E . teorema. V chiziqli fazoda e ,e ,...,e bazis berilgan va A= a j n tartbli 1 2 n k kvadrat matritsa bo`lsin, u holda A shunday yagona chiziqli operator mavjudki, bu A matritsa berilgan bazisda ushbu operatorni matritsasi bo`ladi. A va B matritsalar n tartibli kvadrat matritsalar bo`lsin. A va B V fazoda ularga mos {ek } bazisdagi operatorlar bo`lsin, u holda teoremaga ko`ra A+ B matritsaga A B operator mos keladi. Bunda biror son. teorema. A chiziqli operatorning rangA rangi matritsasi rangiga teng. natija. A va B matritsalar ko’paytmasining rangi quyidagi munosabatlarni bajaradi: rangAB rangA, rangAB rangB , rangAB rangA rangB n . natija. A operator uchun teskari A 1 operator faqat va faqat A operator matritsasining rangi n ga ( n dimV ) teng bo’lgandagina mavjud bo’ladi. Bu holda A matritsaga teskari A 1 matritsa ham mavjud bo’ladi. Endi yangi bazisga o’tganda chiziqli operator matritsasini almashtirishni qaraylik. V chiziqli fazo, A esa L(V ,V ) dagi chiziqli operator e ,e ,...,e va e~ , e~ ,..., e~ V dagi 2 ta bazis hamda 1 2 n 1 2 n n e~ ui e , k 1,2,..., n k k i i 1 esa {e } bazisdan {e~ } bazisga o`tish formulasi bo`lsin k k k (ui ) deb olamiz, rangU n ga teng. A (a j ) va matritsalar A k operatorni {ei } va {e~ } bazislardagi matritsalari bo`lsin k k k Bu matritsalar orasidagi munosabatni topamiz. teorema. A operatorni matritsalari orasida {ei } va {e~ } bazislardagi (a j ) va 1 A A U ~U munosabat mavjud. 1 ~ A U AU formulani ikkala tomonini o`ngdan U 1 va chapdan U ga ko`paytirib, quyidagi tenglikni hosil qilamiz: A ~ UAU 1 A va B n tartibli kvadrat matritsalar. A va B lar {ei } bazisdagi ularni mos operatorlari bo`lsin. U holda A keladi. Yuqoridagi teoremadan matritsaga A ~ B chiziqli operator mos kelib chiqadi. det A det A Shunday qilib, chiziqli operatorning matritsasini determinanti bazisni tanlab olishga bog`liq emas. Shu sababli А chiziqli operatorning determinanti tushunchasini kiritish mumkin, det A det A A A - A operatorning ixtiyoriy bazisdagi matritsasi. Chiziqli operatorning xarakteristik ko`phadi. L(V ,V ) dagi А chiziqli operator, I esa aynan operator bo`lsin. ta`rif. ga nisbatan ko`phad bo`lgan det( A I ) A operatorning xarakteristik ko`phadi deyiladi. k matritsasi bo`lsin. U holda A operatorning xarakteristik ko`phadi quyidagi ko`rinishda bo`ladi: det( A I ) 1
a 2 ... a 1 n 2 a 1 a 2 2 ... a n 2 ... ... ... n a ... n Xarakteristik ko`phadning quyidagicha yozamiz: oldidagi koeffisientini dk orqali belgilab uni det( A Shunday qilib, det( A ) determinant qiymati bazisni tanlab olishga bog`liq emas, u holda xarakteristik ko`phadning dk koeffisientlari bazisni tanlab olishga a a a 1 bog`liq emas, ular invariantlar bo`ladi, ya`ni ular bazisni tanlab olishga bog`liq bo`lmagan miqtorlar. Xususan, dn 1 1 2 ... n invariant bo`ladi. Bu invariant A operatorning 2 n izi deyiladi va trA orqali belgilanadi: a 1 trA 1 2 ... an . a n 2 det( A ) 0 tenglama A operatorning xarakteristik tenglamasi deyiladi. Chiziqli operatorlarning xos qiymatlari va xos vektorlari. chiziqli operator bo`lsin. ta`rif. V1 A operatorning invariant qism fazosi deyiladi, agarda V1 tegishli barcha Yüklə 1,36 Mb. Dostları ilə paylaş:
|