Chiziqli fazo ta`rifi va xossalari 6

x y .

1-misol. Uch o`lchovli vazoda erkin vektorlar to`plamini qaraylik. Bizga ma`lum bo`lgan vektorlarni qo`shish va songa ko`paytirish amallarga nisbatan bu

to`plam chiziqli fazo bo`ladi va uni
B₃ orqali belgilanadi. Shunga o`xshash

tekislikdagi va to`g`ri chiziqdagi erkin vektorlar to`plamlari mos ravishda
B₁ orqali belgilaymiz.
B₂ va

2-misol.
{x}
barcha musbat haqiqiy sonlar to`plami bo`lsin. Bu to`plamning

x va y elementlari yig`indisini x va y haqiqiy sonlar ko`paytmasi kabi aniqlaylik. {x} to`plamni x elementini haqiqiy songa ko`paytmasini x haqiqiy
sonni darajaga ko`paytirish kabi aniqlaylik. {x} to`plamni nol elementi bo`lib 1

soni xizmat qiladi, x elementga teskari element bo`lib Oson ko`rish mumkinki , 1-8 aksiomalar bajariladi.
1/ x
soni xizmat qiladi.

3. 
   misol. Chiziqli fazoga muhim misol bo`lib, Aⁿ elementlari tartiblangan n
   

ta haqiqiy sonlarning ushbu elementlaridan iborat bo`lgan to`plami xizmat qiladi.

Aⁿ to`plam elementlari uchun qo`shish va songa ko`paytirish amallarini

quyidagicha kiritamiz:
(x₁ , x₂ ,...,x_n )


( y₁ , y₂ ,...,y_n )


(x₁


y₁ , x₂


y₂ ,...,x_n


y_n ) ^;

(x₁ , x₂ ,...,x_n )
( x₁ ,
x₂ ,...,
x_n )^.

Bu to`plamning nol elementi bo`lib 0
(0,
0, ..., 0)
element xizmat qiladi.

(x₁ , x₂ ,...,x_n )
qiladi.
^{elementga qarama –qarshi element bo`lib} (
x₁ ,
x₂ ,...,
x_n )
xizmat

Ko`rish qiyin emaski 1-8 aksiomalar bajariladi.

4. 
   misol.
   

a t b
oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo`lgan
x x(t)

funksiyalarning
C[a,b]
to`plamida qo`shish va songa ko`paytirish amallarini

funksiyalarni qo`shish va songa ko`paytirish amallari kabi aniqlasak, oson ko`rish mumkinki 1-8 aksiomalar bajariladi.

4. 
   misol.
   

{P_n (t)}
darajasi n dan yuqori bo`lmagan algebraik ko`phadlar

to`plami , bizga ma`lum ko`phadlarni qo`shish va songa ko`paytirish kabi aniqlasak, u holda bu to`plam ham chiziqli fazoga misol bo`ladi.
Quyidagi to`plamlar chiziqli fazoga misol bo`la olmaydi:

1. 
   Barcha n darajali ko`phadlar to`plami(chunki ularning yig`indisi n darajali ko`phad bo`lmasligi mumkin);
   

2. 
   Koeffisientlari musbat bo`lgan va darajasi n dan katta bo`lmagan ko`phadlar to`plami (bu to`plam elementlarini manfiy haqiqiy songa ko`paytirish mumkin emas).
   

Ixtiyoriy chiziqli fazo elementlarini vektorlar deb atash qabul qilingan. Ko`p hollarda “vektor “ so`zi tor ma`noda bo`lib qoladi, chunki chiziqli fazo elementlari ixtiyoriy tabiatli bo`lishi mumkin.

Agar ta`rifdagi
, ,....
sonlar haqiqiy sonlar bo`lsa, u holda bu fazo haqiqiy

chiziqli fazo deyiladi. Agar ta`rifdagi ,
,....
sonlar kompleks sonlar bo`lsa , u

holda bunday fazo kompleks chiziqli fazo deyiladi.

Endi chiziqli fazolarning ba`zi bir xossalarini keltirib o`tamiz.

1. 
   teorema. Har qanday chiziqli fazoda yagona nol element va har bir x
   

elementi uchun yagona qarama-qarshi elementi mavjud.

2. 
   teorema. Ixtiyoriy chiziqli fazoda
   

1. 
   nol element ixtiyoriy x elementini nol haqiqiy songa ko`paytirilganiga teng:
   

0 x.

2. 
   Har qanday x element uchun qarama-qarshi element bu x elementni 1
   

haqiqiy songa ko`paytirilganiga teng:
x