Chiziqli fazo ta`rifi va xossalari 6

R fazoning ikkita ixtiyoriy qism fazosi bo`lsin. ^R fazoning bir paytda

L₁ ^va L₂
da yotuvchi x elementlari to`plami R fazoning qism fazosi bo`ladi va u

L₁ va L₂
fazolarning ko`paytmasi deyiladi.

^R fazoning barcha y
z ko`rinishdagi elementlari to`plami, bunda y
L₁ fazoning

^elementi z ^esa
L₂ fazoning elementi ^R fazoning qism fazosi bo`ladi va u
L₁ va

L₂ fazolarning yig`indisi deyiladi.
<sup>Misol. R uch o`lchovli fazodagi barcha erkin vektorlarning chiziqli fazosi,</sup> L₁

Oxy tekislikka parallel bo`lgan barcha erkin vektorlarning qism fazosi, L₂
esa Oxz

tekislikka parallel bo`lgan barcha erkin vektorlarning qism fazosi bo`lsin. U holda

L₁ ^va L₂
fazolarning yig`indisi R fazoning o`zidan, fazolarning kesishmasi esa

Ox o`qiga parallel bo`lgan barcha erkin vektorlar to`plamidan iborat.

3. 
   teorema. Chekli o`lchovli R chiziqli fazoning
   

L₁ ^va L₂
qism fazolarining

o`lchovlarining yig`indisi, ushbu qism fazolar kesishmasi va yig`indisini o`lchovlari yig`indisiga teng.

L₁ ^va L₂

3. 
   Chiziqli fazoni qism fazolarning to`g`ri yig`indisiga yoyish.
   

n o`lchovli R fazoning qism fazolari bo`lsin.

1-ta`rif. R fazo
L<sub>1</sub> <sup>va</sup> L<sub>2</sub>
qism fazolarning to`g`ri yig`indisi orqali ifodalanadi

deyiladi, agarda R fazoning har bir x elementi yagona usul bilan
x x₁ x₂

^{ko`rinishda ifodalansa. Bunda} x₁
L₁ ^fazoning
x₂ ^esa L₂
fazoning elementi.

Bu hol
R L₁ L₂
ko`rinishda belgilanadi. Oxirgi tenglik R fazoning
L₁ ^va L₂

fazolarning to`g`ri yig`indisiga yoyilmasi deyiladi.

R uch o`lchovli erkin vektorlar fazosi,
L<sub>1</sub> <sup>esa Oxy tekisligiga parallel bo`lgan</sup>

barcha vektorlar fazosi
L₂ ^{esa Oz o`qiga parallel bo`lgan barcha vektorlar fazosi}

bo`lsa, u holda R L<sub>1</sub> va L<sub>2</sub> fazolarning to`g`ri yig`indisidan iborat bo`ladi.

Teorema. n o`lchovli R fazo
L<sub>1</sub> <sup>va</sup> L<sub>2</sub>
qism fazolarning to`g`ri yig`indisidan iborat

bo`lishi uchun , ularning kesishmasi faqat nol elementdan va R ni o`lchovi
L₁ ^va

L₂ fazolar o`lchovlari yig`indisidan iborat bo`lishi etarli.
Endi n o`lchovli chiziqli fazoda bazis o`zgarganda koordinatalarni o`zgarishi
va bazislarni almashtirishni qaraylik.

e ,e ,...,e va ^{e1 ,e1 ,..., e1}
lar n o`lchovli R chiziqli fazodagi 2 ta ixtiyoriy bazislar

1 2 n ^{1 2 n}

bo`lsin. R fazoning ixtiyoriy elementi har ikki bazis orqali ham ifodalanadi. Faraz

qilaylik
^{e1 ,e1 ,..., e1} elementlar e ,e ,...,e
lar orqali quyidagicha ifodalansin:

^{1 2 n} 1 2 n

e¹ a e a e
...
a e ,

1 11 1
12 2
1n n

e

a

1
2 21^e1 ^a22^e2 ^...
a_{2 n}e_n ,


(1)

.......... .......... .......... .......

e¹ a e a e
...
a e .

n n1 1
n 2 2
nn n

21. 
    holda birinchi
    

e ,e ,...,e ^{bazisdan e1 ,e1 ,..., e1}
bazisga o`tish matritsasi

1 2 n ^{1 2 n}

quyidagi ko`rinishda bo`ladi:
^a11


^a12

...

^a1n

_A ^a21
...
^an1
^a22
...
^an 2
...
...
...
^a2 n
...
^ann
(2)

^{Bu matritsaning} d ^{determinanti noldan farqli ikkinchi bazisdan birinchi bazisga}
o`tish matritsasi B A matritsaga teskari matritsa bo`ladi. Ma`lumki, A matritsaga

teskari matritsa

A11 / d	A21 / d	...	An1 / d
A12 / d	A22 / d	...	An 2 / d
...	...	...	...
A1n / d	A2 n / d	...	Ann / d

B

^Aij
esa A matritsaning
a_ij elementining algebraik to`ldiruvchisi.

(1) ning birinchi tenhligini
^A1 j
ga, ikkinchisini
^A2 j
ga va hakazo n -sini esa
^Anj

ko`paytirib, so`ngra ularni qo`shib quyidagi tenglikni hosil qilamiz.

e¹ A
e¹ A
n
e (a A a A
....
a A )

1 1 j
2 2 j
nj i
i 1
1i 1 j
2i 2 j
ni nj

i ustun elementlarini mos j ustun algebraik to`ldiruvchisiga ko`paytmalari

yig`indisi i
j bo`lganda nolga tengligini hisobga olsak ( i j
da d ga teng)

Oxirgi tenglikdan
e¹ A


e¹ A e d

bundan

1. 
   1 j
   
2. 
   2 j
   

nj j

e

e

1
^ej 1
yoki
¹ ....
e¹ , j
1,2,..., n

n

2
_e ^A11 _e^1
A21 _e¹
....
e¹ ,

1. 
   _d 1 _d 2 n
   

_e ^A12 _e^1
A22 _e¹
....
e¹ ,

2. 
   _d 1 _d 2 n
   

(4)

e
.......... .......... .......... .......... ....

e

e

e
1 1
n 1 2
.... ¹

n
(4) formula
^{e1 ,e1 ,..., e1 bazisdan} e ,e ,...,e
bazisga o`tish matritsasi A matritsaga

^{1 2 n} 1 2 n
teskari matritsa orqali o`tishni ifodalaydi. Bu ^A matritsaga teskari matritsani A ¹
orqali belgilaymiz.
Bazis almashritganda koordinatalar orasidagi munosabat.

Maxsusmas (2) matritsa orqali
e ,e ,...,e ^{bazisdan e1 ,e1 ,..., e1}
bazisga o`tilgan

1 2 n ^{1 2 n}

bo`lsin. U holda bazislarni teskari almashtirishiga (3) matritsa mos keladi x

qaralayotgan R chiziqli fazoning ixtiyoriy elementi bo`lsin.
(x₁ , x₂ ,...,x_n )
esa uni

e ,e ,...,e
bazisdagi koordinatasi
(x¹ , x¹ ,...,x¹ )
esa
e¹ ,e¹ ,..., e¹
bazisdagi

1 2 n
1 2 n
1 2 n

koordinatasi bo`lsin, ya`ni

x x¹e¹
_x1_e1
...
x¹ e¹ x e
x e ... x e

1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n

e₁ ,e₂ ,...,e_n
lar o`rniga ularni (4) dagi ifodalarini qo`yib

x x¹e¹


_x1 _e1

...

_x1 _e1
x ( ^A11 e^1
A21 _e¹


...


e¹ )

1 1 2 2
n n 1 _d 1 _d 2 n

x ( ^A12 e^1
A22 _e¹


...


e¹ )


...
x ( ^A1n e¹


e¹ ...


e¹ ).

2 _d 1 _d 2 n n _d 1 2 n

Oxirgi tenglikdan
e¹ ,e¹ ,..., e¹
bazis bo`yicha yagona yoyilma o`rinli ekanligidan

1 2 n

(x , x ,...,x ) koordinatadan ^{(x1 , x1 ,..., x1 )}
koordinataga o`tish formulasi kelib

1 2 n ^{1 2 n}

chiqadi:

1. 
   
   x
   
   1
   ^x1
   

x₂ ....
x_n ,

2. 
   
   x
   
   1
   ^x1
   

x₂ ....
x_n ,

(5)

.......... .......... .......... .......... ......

x

1
n ^x1
x₂ .... x_n

Tasdiq Ixtiyoriy maxsusmas A matritsa uchun teskari ^{Isboti Faraz qilaylik yana bir} C ^{matritsa mavjud va}
A ^{1 matritsa yagonadir}

bo`lsin U holda


CAA ¹
AC
C( AA
CA E
¹ ) CE C

bundan C