Chiziqli fazo ta`rifi va xossalari 6

x ^{elementlar uchun} Ax ^{element ham} V₁ ^{da yotsa.}

A operatorning invariant qism fazolariga oladi.
ker A
va imA qism fazolar misol bo`la

3. 
   ta`rif. son A operatorning xos qiymati deyiladi, agarda shunday noldan farqli
   

Ax (1)

tenglikni qanoatlantiruvchi x element mavjud bo`lsa. Bu x element A
operatorning xos vektori deyiladi.

1. 
   teorema. son A operatorning xos qiymati bo`lishi uchun uning
   

det( A
xarakteristik tenglamasini ildizi bo`lishi zarur va etarli.

^Isboti. А ^{operatorning xos qiymati va} x ^{bu songa mos (x}
bo`lsin. (1) ni quyidagi ko`rinishda yozamiz:
0) xos vector

( A I )x 0.

Shunday qilib, x noldan farqli element va oxirgi tenglikdan kelib chiqadi, ya`ni
ker( A

dim(ker( A (2)
Ma`lumki,

dim(im( A
I ))
dim(ker( A

bu tenglikdan va (2) tengsizlikdan

kelib chiqadi.
dim(im( A
I )) n 1
(3)

Ta`rifdan
dim(im( A
I ))
A ^{operator rangiga teng. Shu sababli (3)}

tengsizlikdan
kelib chiqadi.


rang( A

(4)

^{Shunday qilib, agar xos qiymat bo`lsa, u holda} A ^operatorning A

matritsaning rangi n dan kichik, ya`ni tenglamani ildizi.
det( A
I ) 0
va demak, xarakteristik

Endi (1) xarakteristik tenglamaning ildizi bo`lsin. U holda (3) tengsizlik
o`rinli va demak (2) tengsizlik o`rinli. Bundan esa son uchun noldan farqli shunday x element mavjudki,
( A I )x 0.


Bu oxirgi tenglik (1) ga ekvivalent, shu sababli xos qiymat. Teorema isbotlandi.

Natija. Har qanday chiziqli operator xos qiymatga ega.
Haqiqatan ham, kompleks sonlar nazariyasining asosiy teoremasiga ko`ra xarakteristik tenglama har doim ildizga ega.

2. 
   teorema. Berilgan
   

{e_k }
bazisda A operatorning A matritsasi dioganal

^{ko`rinishda bo`lishi uchun,} e_k
bo`lishi zarur va etarli.
bazis vektorlari bu operatorning xos vektorlari

^Isboti. e_k
bazis vektorlar А operatorning xos vektorlari bo`lsin. U holda

Ae_k
k e_k ,
(1)

shu sababli A operatorning A matritsasi quyidagi ko`rinishda bo`ladi:

0


A
...
0
...
...
...
...
, (2)

ya`ni diagonal ko`rinishda bo`ladi.

A matritsa А operatorning
{e_k }
bazisdagi diagonal ko`rinishda bo`lsin, ya`ni (2)

^{ko`rinishda bo`lsin. U holda (1) o`rinli, demak} e_k
xos vektorlari.Teorema isbotlandi.
bazis vektorlari bu operatorning

3. 
   teorema. А operatorning
   

₁ , ₂ ,...,
lar xos qiymatlari bo`lsin. U holda

ularga mos
e₁ ,e₂ ,..., e_p
xos vertorlari o`zaro chiziqli erkli bo`ladi.

Isboti. Induksiya usulidan foydalanamiz. p
1 da teorema o`rinli. Bu holda
e₁ ^-

noldan farqli vector, chunki noldan farqli bitta vector chiziqli erkli. Faraz qilaylik,

teorema m ta
e₁ ,e₂ ,...,e_m
vektorlar uchun o`rinli bo`lsin. Bu vektorlarga
^em 1

vektorni qo`shaylik, u holda


(3)

bo`lsin.U holda operatorni chiziqli ekanligidan quyidagi tenglikni hosil qilamiz:

m 1
_k Ae_k 0.
k 1
(4)

Shunday qilib,
e_k xos vektorlar, u holda

Ae_k
k ^ek

Shu sababli (4) quyidagicha yozish mumkin:

(3) tenglikdan
m 1
k k ^ek ^o
k 1
(5)

m 1
m 1 k ^ek ^o.
k 1


(5) tenglikdan ushbu tenglikni ayirib, quyidagi tenglikni hosil qilamiz:

m 1
⁽ k m 1 ⁾
k 1
_k e_k o.
(6)

Shartga ko`ra barcha
har xil, ya`ni _k
m 0 . Shu sababli (6) dan olishimizga

ko`ra
e₁ ,e₂ ,...,e_m
vektorlar chiziqli ekanligidan _1
2 ...
_m 0 ^{kelib chiqadi.}

^{Bundan va (3) dan hamda} e_m
xos vektor ekanligidan
(e_{m 1} 0)
m 1 ⁰
kelib

chiqadi. Shunday qilib, (3) tenglikdan biz _1
2 ...
m 1 ⁰
tenglikni hosil

qilamiz. Bu esa
e₁ ,e₂ ,...,e_{m 1} ^{vektorlarni chiziqli erkli ekanligini bildiradi.}

Teorema isbotlandi.
Natija. Agar А operatorning xarakteristik ko`phadi n ta har xil ildizga ega bo`lsa, u holda biror bazisda А operatorning matritsasi diagonal ko`rinishga bo`ladi.
Haqiqatan ham, qaralayotgan holda isbot qilingan 2-teoremaga ko`ra barcha xos vektorlari chiziqli erkli va ularni bazis sifatida olish mumkin U holda 1- teoremaga ko`ra А operatorning matritsasi bu bazisda diagonal ko`rinishda bo`ladi.

4. 
   Evklid fazoda chiziqli va bir yarim chiziqli formalar.
   

V ^{evklid fazosi va} C <sup>kompleks tekislik (bir o`lchovli kompleks chiziqli</sup> fazo) bo`lsin. U holda ma`lumki, V ni C ga o`tqazuvchi chiziqli operator chiziqli

forma deyiladi. Ushbu mavzuda maxsus ko`rinish topamiz.
L(V ,C)
dagi ixtiyoriy f chiziqli forma uchun

Lemma. f
L(V ,C)
dagi chiziqli forma bo`lsin, u holda V da chunday yagona

h element mavjudki,


f (x)


(x, h)

(1)

bo`ladi.
^Isboti. h ^{elementni mavjudligini isbotlash uchun} V ^da olamiz.


e₁ ,e₂ ,...,e_n ^{bazis tanlab}

^{hk koordinatasi quyidagicha ifodalangan} h ^{elementni qaraymiz:}

_hk
Shunday qilib, olishimizga ko`ra
. (2)

n

k
x x^k e
k 1
V ^{dagi ixtiyoriy element bo`lsin. f formaning chiziqli ekanligidan va}

2. 
   tenglikdan foydalanib
   

f (x)


k
f (e_k ) h
(3)

^{ni hosil qilamiz. Ma`lumki, ortonormallangan} {e_k } ^{bazisda x}
n

k
x^k e va
k 1

n

k
h h^k e
k 1
vektorlarning
(x, h)
skalyar ko`paytmasi

h^k ga teng. U holda

2. 
   dan
   

f (x)
(x, h)
tenglikni hosil qilamiz.

h ^{vektorni mavjudligi isbotlandi.}
Endi bu vektorning yagonaligini isbotlaymiz. Faraz qilaylik, shunday ikkita

h₁ ^va h₂
vektorlar mavjud bo`lsinki, ular yordamida
f (x)
chiziqli forma (1)

ko`rinishda ifodalansin. U holda ixtiyoriy x vektor uchun
(x,h₁ )
(x,h₂ ) , bundan

esa
(x,h₁ h₂ )
0 ^{kelib chiqadi. Bu tenglikda} x
h₁ h₂
deb olib, evklid fazosida

elementni normasi ta`rifidan foydalanib
h₁ h₂ 0

tenglikka kelamiz. Shunday qilib,
h₁ h₂ . Lemma isbotlandi.

Ravshanki, lemma V haqiqiy evklid fazosi, ^f
o`rinli. Bu yerda R haqiqiy to`g`ri chiziq.
L(V , R)
bo`lgan holda ham

Evklid fazosida bir yarim chiziqli formalar va ularni maxsus ifodalanishi.

^{1-ta`rif. Argumentlari</sup> x <sup>va</sup> y <sup>L chiziqli fazodagi barcha mumkin bo`lgan vektorlar}

bo`lgan B(x, y) sonli funksiya bir yarim chiziqli forma deyiladi, agar L dagi

ixtiyoriy
x, y
^va z ^{vektorlar va ixtiyoriy kompleks son uchun}

B(x B(x, y


B(x,
y, z)
z)


y)
B(x, z)
B(x, y)
B(x, y),
B(x, y)
B( y, z),
B(x, z),
(1)

munosabatlar bajarilsa.

1-teorema.
B(x, y)
V evklid fazosidagi bir yarim chiziqli forma bo`lsin. U holda

L(V ,V ) da shunday yagona A chiziqli operator mavjudki,

bo`ladi.
B(x, y)
(x, Ay)
(2)

Isboti. y V
fazoning fiksirlangan elementi bo`lsin. U holda
B(x, y) x

argumentning chiziqli formasi bo`ladi. Shu sababli oldingi mavzudagi lemmaga <sup>ko`ra</sup> V ^{fazodagi shunday bir qiymatli aniqlangan} h ^{elementni ko`rsatish} mumkinki,

B(x, y)
(x, h)
(3)

^{bo`ladi. Shunday qilib,} V ^{har bir} y ^{elementga (3) qoida bilan} V ^{dagi yagona}


h ^{element mos qo`yiladi. Demak, shunday А operator aniqlanganki, h Ay}

bo`ladi. Bu operatorning chiziqli ekanligi (1) xossa va skalyar ko`paytma xossalaridan kelib chiqadi.

А operatorning yagona ekanligini isbotlaymiz.

Faraz qilaylik, ikkita
A₁ va
A₂ operatorlar mavjud bo`lsinki, bu operatorlar

yordamida
B(x, y)
forma (2) ko`rinishga kelsin. U holda ravshanki, ixtiyoriy

x va y lar uchun
(x, A₁ y)
(x, A₂ y) . Bundan esa
(x, A₂ y
A₁ y)
0 kelib chiqadi.

Agar bu tenglikka x
A₂ y
A₂ y
A₁ y
A₁ y
deb olsak, u holda
0

^{kelib chiqadi. Demak,} V ^{dagi ixtiyoriy} y ^{element uchun} Teorema isbotlandi.
A₂ y
A₁ y
ya`ni
A₂ A₁ ^.

Natija.
B(x, y)
V ^{evklid fazosidagi bir yarim chiziqli forma bo`lsin. U holda}

L(V ,V ) da shunday yagona A operator mavjudki,

bo`ladi.