D. Djanabayev, Sh. Murodov, A. Xolmurzayev chizma geometriya

6.3-§. Ko’pyoqlikning to’g’ri chiziq bilan kesishishi

To’g’ri chiziq kavariq ko’pyoqlikning yoqlari bilan ikki nuqtada kesishadi. Bu nuqtalarning biri kirish ikkinchisi chiqish nuqtalari deb yuritiladi. To’g’ri chiziq bilan ko’pyoqlik sirtining kesishish nuqtalarini yasashda quyidagi usullardan foydalaniladi:

• 
  to’g’ri chiziq orqali xususiy vaziyatdagi tekislik o’tkazish usuli;
  
• 
  to’g’ri chiziq orqali umumiy vaziyatdagi tekislik o’tkazish usuli.
  

Quyida to’g’ri chiziq bilan ko’pyoqlikning kesishish nuqtalarini yasashga oid bir necha misollarni ko’rib chiqiladi.
1-usul: To’g’ri chiziq bilan ko’pyoqlik sirtining o’zaro kesishish nuqtalarini xususiy vaziyatdagi tekislik vositasida yasash, qo’yidagi yasash algoritm asosida bajariladi:

• 
  berilgan to’g’ri chiziq orqali xususiy vaziyatdagi tekislik o’tkaziladi;
  
• 
  xususiy vaziyatdagi tekislik bilan berilgan ko’pyoqlikning o’zaro kesishuvidagi kesim yuza chizig’i aniqlanadi;
  
• 
  kesim yuza chizig’i bilan berilgan to’g’ri chiziqning kesishish nuqtalari belgilanadi.
  

6.19–rasmda ℓ(ℓʹ,ℓ″) to’g’ri chiziqning uch yoqli (ʹ,″) prizma sirti bilan kesishish nuqtalarini yasash tasvirlangan.
Yasash algoritmi qo’yidagicha:

• 
  ℓ to’g’ri chiziq orqali frontal proeksiyalovchi N(N_H,N_V) tekislik o’tkaziladi; ℓ″N_V va N_HOx;
  
• 
  N tekislik bilan  prizmaning kesishishidagi kesim yuza chizig’i proeksiyalari 1ʹ2ʹ3ʹ va 1″2″3″ yasaladi. N∩=23;
  
• 
  Kesim yuza chizig’i 123 bilan ℓ to’g’ri chizig’ining uchrashish nuqtalari E₁ va E₂ belgilanadi. 12∩ℓ=E₁ va 23∩ℓ=E₂. Bunda avvalo 1ʹ2ʹ3∩ℓʹ=Eʹ₁ va Eʹ₂ lar aniqlanib, so’ngra proeksion bog’lanish chizig’i orqali E″₁ va E″₂ lar holati aniqlanadi.
  

Agar ko’pyoqlikning yon yoqlari proeksiyalovchi tekisliklar bo’lsa, to’g’ri chiziq bilan bunday sirtning kesishish nuqtalarini yasash juda soddalashadi.
6.20–rasmda to’rt yoqlik to’g’ri prizma sirti bilan ℓ(ℓʹ,ℓ″) to’g’ri chiziqning o’zaro kesishish E₁(Eʹ₁,E″₁), E₂(Eʹ₂,E″₂) nuqtalarini yasash tasvirlangan.
Bunda prizmaning yon yoqlari proeksiyalovchi tekisliklardan iborat bo’lgani uchun ℓ orqali M(M_N) gorizontal proeksiyalovchi tekislik o’tkaziladi, kesishuv nuqtalari proeksiyalari Eʹ₁ va Eʹ₂ belgilanadi. So’ngra ularning E″₁ va E″₂ proeksiyalari yasaladi.
2-usul: To’g’ri chiziq bilan ko’pyoqlik sirtining o’zaro kesishish nuqtalarini, umumiy vaziyatdagi yordamchi tekislik vositasida yasash. Bunda umumiy vaziyatdagi tekislik o’tkazish uchun markaziy yoki qiyshiq burchakli parallel proeksiyalash usullarining biridan foydalaniladi. Bunda to’g’ri chiziqni ko’pyoqlik sirtiga kirish va chiqish nuqtalarini yasash algoritmi quyidagicha:



6.19-rasm. 6.20-rasm

• 
  berilgan to’g’ri chiziq orqali sirtning asosini kesuvchi umumiy vaziyatdagi yordamchi tekislik o’tkaziladi;
  
• 
  yordamchi tekislik bilan sirt asosi tomonlarining kesishish nuqtalari belgilanadi;
  
• 
  bu nuqtalar orqali yordamchi tekislik bilan sirt yon yoqlarining kesishish chiziqlari aniqlanadi;
  
• 
  bu chiziqlar berilgan to’g’ri chiziq bilan kesishib sirtga tegishli kirish va chiqish nuqtalarni hosil qiladi.
  

6.21a,b–rasmda ℓ(ℓʹ,ℓ″) to’g’ri chiziq bilan (ʹ″) piramidaning o’zaro kesishish nuqtasini yasash tasvirlangan. Bunda piramidaning S uchi va ℓ to’g’ri chiziq orqali o’tuvchi umumiy vaziyatdagi P tekislikning P_H izini o’tkazish uchun:

a) b)
6.21-rasm

• 
  berilgan ℓ to’g’ri chiziqning gorizontal ℓʹ_H izi yasaladi;
  
• 
  piramidaning S uchidan ℓ to’g’ri chiziqni ixtiyoriy S(Sʹ, S″) nuqtada kesib o’tuvchi SC(SʹCʹ,S″C″) to’g’ri chiziq o’tkazib uning ham gorizontal F′₁ izi yasaladi;
  
• 
  ℓ'_H va F'₁ izlar orqali piramidani asosini kesuvchi umumiy vaziyatdagi R tekislikning gorizontal R_N izini o’tkazamiz. R_N bilan piramida asosining kesishish nuqtalari 1ʹ va 2ʹ ni belgilanadi.
  
• 
  Sʹ nuqtani 1ʹ va 2ʹ nuqtalar bilan birlashtirib, P tekislik bilan piramidaning kesishish chizig’i Sʹ1ʹ2ʹ ni yasaladi;
  
• 
  Sʹ1ʹ2ʹ bilan ℓʹ to’g’ri chiziqning o’zaro uchrashish Eʹ₁ va Eʹ₂ nuqtalarini belgilanadi. Bu nuqtalardan foydalanib ularning frontal E″₁ va E″₂ proeksiyalari aniqlanadi. Hosil bo’lgan E₁ va E₂ nuqtalar ℓ to’g’ri chiziq bilan  piramida sirtining kesishishidagi kirish va chiqish nuqtalari bo’ladi.
  

Yuqorida bayon etilgan usulni yordamchi markaziy proeksiyalash usuli deb ham ataladi. Bu usuldan to’g’ri chiziq bilan konus sirtining kesishish nuqtalarini yasashda ham foydalaniladi. Prizma yoki silindr sirtlari bilan to’g’ri chiziqning kesishuv nuqtalarini yasashda ham umumiy vaziyatdagi tekisliklaridan foydalangan qulay. Bunda berilgan to’g’ri chiziq bilan ko’pyoqlik sirtining o’zaro kesishish nuqtalari berilgan to’g’ri chiziq orqali ko’pyoqlikning yon qirralariga parallel qilib o’tkazilgan umumiy vaziyatdagi tekislik vositasida aniqlanadi.
Proeksiyalash yo’nalishi ko’pyoqlik qirralariga parallel bo’lgani uchun uni qiyshiq burchakli yordamchi parallel proeksiyalash usuli deb ham ataladi.
6.22-rasmda og’ma vaziyatdagi (ʹ,ʺ) prizma sirti bilan b(bʹ,bʺ) to’g’ri chiziqning o’zaro kesishish nuqtalarini yasash tasvirlangan. Bu misolni chizmada echish algoritmi quyidagicha:

• 
  berilgan b to’g’ri chiziqning gorizontal b_H(bʹ_H,bʺ_H) izi yasaladi;
  
• 
  b to’g’ri chiziqning ixtiyoriy D(Dʹ,Dʺ) nuqtasidan prizmaning yon qirralariga parallel qilib to’g’ri chiziq o’tkaziladi va uning ham gorizontal F₁(Fʹ_1,Fʺ₁) izi aniqlanadi.
  
• 
  bʹ_h va Fʹ₁ izlar orqali, prizmaning qirralariga parallel kesuvchi umumiy vaziyatdagi Q tekislikning Q_H izi o’tkaziladi. Bu tekislik prizmaning asosini 1ʹ va 2ʹ nuqtalarda kesadi. Ushbu nuqtalaridan prizma qirralariga parallel o’tkazilgan kesim chiziqlari lʹ to’g’ri chiziqni E′₁ va E′₂ nuqtalarida kesadi. Bu nuqtalarning frontal proeksiyalari E″₁ va E″₂ nuqtalar, lʺ to’g’ri chiziqda aniqlanadi. Natijada, to’g’ri chiziqni prizma sirti bilan kesishishidagi kirish va chiqish nuqtalari hosil bo’ladi.
  

6.22-rasm