D. Djanabayev, Sh. Murodov, A. Xolmurzayev chizma geometriya

9.3–§. Konus kesimlari

Doiraviy konus sirtning tekislik bilan kesishishidan hosil bo’lgan chiziqlar konus kesimlari yoki ikkinchi tartibli chiziqlar deyiladi. Bu chiziqlar oilasiga o’zaro kesuvchi ikki to’g’ri chiziqlar aylana parabola, giperbola, ellips kiradi. Bu oilaga mansub chiziqlarning hosil bo’lishi kesuvchi tekislikning konus o’qiga va uning yasovchilariga nisbatan vaziyatiga bog’liq bo’ladi.
Kesuvchi tekislik konusning uchidan o’tib, yasovchilardan birortasi bilan kesishmasa, u holda kesimda nuqta hosil bo’ladi (9.7-rasm).
Kesuvchi tekislik konus o’qi orqali o’tsa, kesimda o’zaro kesuvchi ikki to’g’ri chiziq hosil bo’ladi (9.7-rasm).
Kesuvchi tekislik konus o’qiga perpendikulyar bo’lib, uning uchidan o’tmasa, kesimda aylana hosil bo’ladi (9.7-rasm).

Teorema. Aylanma konusning tekislik bilan kesishuvidan hosil bo’lgan kesimning konus o’qiga perpendikulyar bo’lgan tekislikdagi to’g’ri burchakli proeksiyasi 2-tartibli egri chiziq bo’lib, uning fokuslaridan biri konus uchining shu tekislikdagi proeksiyasi bo’ladi.

Elliptik kesim. Kesuvchi tekislik bilan konus o’qi orasidagi α burchak konus yasovchilari va o’qi orasidagi Φ burchakdan katta (α > Φ) bo’lsa, kesimda ellips hosil bo’ladi.
Kesuvchi tekislik konusning barcha yasovchilarini kesib, α ≠ 90˚ bo’lsa, kesimda ellips hosil bo’ladi (9.7-rasm).
To’g’ri doiraviy konusning N(N_V) frontal proeksiyalovchi tekislik bilan kesishish chizig’ini yasash kerak bo’lsin (9.7-rasm).


9.8-расм



9.9-расм.
Kesuvchi tekislik frontal proeksiyalovchi bo’lganligi sababli ellipsning frontal proeksiyasi to’g’ri chiziq kesmasi A″B″ dan iborat bo’ladi. Ayni vaqtda A″B″ kesma ellipsning katta o’qi bo’ladi. Uning kichik o’qi C′D′ kesma katta o’qi A′B′ ga perpendikulyar bo’lib, kesishish nuqtasida har ikkala o’q bir-birini teng ikkiga bo’ladi.
A va B nuqtalarning gorizontal proeksiyalari A′ va B′ bevosita S′3′ va S′4′ yasovchilarda belgilab olinadi. C va D nuqtalarning gorizontal proeksiyalarini topish uchun C″≡D″ nuqta orqali H₁(H_1V) gorizontal tekislik o’tkaziladi. Radiusi 0″1″ kesmaga teng bo’lgan aylana 0′ markaz bo’yicha chiziladi. C″≡D″nuqtadan proeksion bog’lanish chizig’i o’tkazilib, uning 0″1″=0′1′radiusli aylana bilan kesishish nuqtalari C′va D′ lar belgilab olinadi. Gorizontal proeksiyada ellipsni katta (A′B′) va kichik (C′D′) o’qlari bo’yicha yasash mumkin. Kesimga tegishli oraliq nuqtalardan bir nechtasi yasalib, ular o’zaro tutashtirilsa ellips hosil bo’ladi. Shunday nuqtalardan E′va F′ larni yasashni ko’rib chiqaylik. A″va B″ nuqtalar orasida ixtiyoriy E″≡ F″ nuqta olib, u orqali H₂(H_2V) gorizontal tekislik o’tkaziladi. Bu tekislikning konus bilan kesishish chizig’i bo’lgan aylananing gorizontal proeksiyasi bo’lgan 0′2′ radiusli aylana chiziladi. Bu aylana bilan E″≡F″ nuqtadan tushirilgan proeksion boglanish chizig’ining o’zaro kesishishidan E′va F′ nuqtalar hosil bo’ladi. Bu nuqtalarni konusning S4(S′4′,S″4″) va S5(S′5′, S″5″) yasovchilari orqali ham topish mumkin.