Diferensial təNLİKLƏr aslı olmayan dəyişən X

Misal: 𝑦 ′ + 2𝑥𝑦 = 2𝑥

Həlli: 𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣. Onda 𝑢 ′𝑣 + 𝑢𝑣 ′ + 2𝑥 ∙ 𝑢𝑣 = 2𝑥, yəni

𝑢 ′ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ (𝑣 ′ + 2𝑥𝑣) = 2𝑥 əvvəlcə 𝑣 ′ + 2𝑥 ∙ 𝑣 = 0 tənliyini həll edək.

𝑑𝑣 /𝑣 = −2𝑥𝑑𝑥, 𝑙𝑛|𝑣| = −𝑥² , 𝑣 = 𝑒 –𝑥²

İndi 𝑢 ′ ∙ 𝑒 –𝑥² + 𝑢 ∙ 0 = 2𝑥 tənliyini həll edək. 𝑑𝑢 /𝑑𝑥 = 2𝑥 ∙ 𝑒 𝑥² ,

𝑑𝑢 = ∫ 2𝑥 ∙ 𝑒 𝑥² 𝑑𝑥, 𝑢 = 𝑒 𝑥² + 𝐶

Beləliklə verilmiş tənliyin ümumi həlli: 𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣 = (𝑒 𝑥² + 𝐶) ∙ 𝑒 –𝑥²

Yəni 𝑦 = 1 + 𝐶 ∙ 𝑒 –𝑥²
LAQRANJ TƏNLİYİ
𝑦 = 𝑥𝜑(𝑦 ′ ) + 𝜓(𝑦 ′ )

tənliyinə baxaq, burada 𝜑 və 𝜓 funksiyaları 𝑦 ′ -dən asılı naməlum funksiyalardır,

𝜑(𝑦 ′ ) funksiyası 𝑦 ′ -dən fərqlidir. Belə tip tənlikləri Laqranj tənliyi adlandırırlar. Bu tənlik 𝑥 və 𝑦 dəyişənlərinə nəzərən xəttidir. Bu halda belə tənliyi koməkçi parametrin daxil edilməsi metodu ilə həll edirlər.

𝑦 ′ = 𝑝 əvəzləməsi apararaq ümumi həlli tapaq. Onda tənlik belə olar:

𝑦 = 𝑥𝜑(𝑝) + 𝜓(𝑝)

𝑥-ə görə diferensiallayaraq alırıq:

𝑑𝑦 /𝑑𝑥 = 𝜑(𝑝) + 𝑥𝜑 ′ (𝑝) ∙ 𝑑𝑝/ 𝑑𝑥 + 𝜓 ′ (𝑝) 𝑑𝑝 /𝑑𝑥 , yəni

𝑝 − 𝜑(𝑝) = (𝑥 ∙ 𝜑 ′ (𝑝) + 𝜓 ′ (𝑝)) 𝑑𝑝/ 𝑑𝑥 və ya

(𝑝 − 𝜑(𝑝)) 𝑑𝑥 /𝑑𝑝 − 𝑥𝜑 ′ (𝑝) = 𝜓 ′ (𝑝) ⇒ tənliyi 𝑥 = 𝑥(𝑝) naməlum funksiyasına nəzərən xətti tənlikdir. ⇒ tənliyini həll edərək alırıq: 𝑥 = 𝜆(𝑝; 𝑐) tənliklərindən 𝑝 parametrini yox edərək tənliyinin ümumi inteqralını alırıq:

𝑦 = 𝛾(𝑥; 𝑐)