Diferensial təNLİKLƏr aslı olmayan dəyişən X

Misal: (𝑥² – 𝑦² )𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0 tənliyini həll edin.

Həlli: 𝑦 = 𝑥𝑧 (𝑧, 𝑥-dən asılı yeni funksiyadır) əvəzləməsi aparaq.

𝑑𝑦 = 𝑧𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑧,onda tənlik belə olar:

(𝑥² – 𝑥² 𝑧² )𝑑𝑥 + 𝑥² 𝑧(𝑧𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑧) = 0.

Sadələşdirdikdən sonra alırıq: 𝑑𝑥 + 𝑥𝑧𝑑𝑧 = 0 və ya 𝑧𝑑𝑧 = − 𝑑𝑥 /𝑥

Alınmış tənliyi inteqrallayaraq alırıq: 𝑧²/2= − ln 𝑥 + 1/2 ln 𝐶;

𝑧² = ln 𝐶/𝑥² ; 𝑧 = 𝑦/𝑥 olduğundan, 𝑦²/𝑥² = ln 𝐶/𝑥² verilmiş bircins tənliyin ümumi həllidir.

İKİTƏRTİBLİ DİFERENSİAL TƏNLİKLƏR

İki tərtibli diferensial tənliyin ümumi şəkli belədir:

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ″ ) = 0

Əgər tənlik törəməyə nəzərən həll edilirsə, 𝑦 ″ = 𝑓(𝑥. 𝑦, 𝑦 ′ ) alırıq.

𝐶1və 𝐶2 sabitlərinin ixtiyari qiymətində və ya tənliyi eyniliyə çevirən

𝑦= 𝑦(𝑥, 𝐶1, 𝐶2 )-yə tənliyin ümumi həlli deyilir.

𝐶1 və 𝐶2 sabitlərinin konkret qiymətlərində 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝐶1, 𝐶2 ) ümumi həllindən alınan həllə iki tərtibli diferensial tənliyin xüsusi həlli deyilir. İki tərtibli diferensial tənliyin həllinin qrafiki inteqral əyrisi adlanır. İki tərtibli diferensial tənliyinin xüsusi həlli 𝑦₀ = 𝑦(𝑥₀ ); 𝑦 ′ (𝑥₀ ) = 𝑦₀ ′ şərtindən alınır. Tənliyin şərtindən 𝐶1və 𝐶2 tapılır,

tənliyinin şərtini ödəyən xüsusi həllinin tapılması məsələsinə iki tərtibli diferensial tənlik üçün Koşi məsələsi deyilir.

İki tərtibli diferensial tənlik üçün Koşi məsələsi ondan ibarətdir ki, 𝑀₀ (𝑥₀, 𝑦₀ ) nöqtəsindən 𝑦₀ ′ istiqamətində keçən inteqral əyrisi tapılsın.(3) şərtinin ödənilməsi ilə tənliyinin xüsusi həllinin tapılması aşağıdakı varlıq və yeganəlik teoremi ilə ifadə olunur.

Teorem: Əgər 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) funksiyası 𝑀₀ (𝑥₀, 𝑦₀, 𝑦₀ ′ ) nöqtəsini özündə saxlayan oblastda kəsilməzdirsə, onda 𝑦 ″ = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) tənliyinin 𝑦(𝑥₀ ) = 𝑦₀, 𝑦 ′ (𝑥₀ ) = 𝑦₀ ′ şərtini ödəyən xüsusi həlli vardır. Əgər bundan başqa 𝜕𝑓/𝜕𝑦 və 𝜕𝑓/𝜕𝑦′ xüsusi törəmələri də kəsilməzdirsə, onda onun həlli yeganədir.