Diferensial təNLİKLƏr aslı olmayan dəyişən X

Misal : 𝑦 = 2𝑥𝑦 ′ − 3(𝑦 ′ )² diferensial tənliyini həll edin.

Həlli: Tənliyi 𝑦 ′ = 𝑝 əvəzləməsi edərək həll edək. Onda tənlik belə olar:

𝑦 = 2𝑥𝑝 − 3𝑝²

Tənliyin hər iki tərəfini diferensiallayaraq alırıq:

𝑑𝑦 = 2𝑥𝑑𝑝 + 2𝑝𝑑𝑥 − 6𝑝𝑑𝑝. 𝑑𝑦 = 𝑝𝑑𝑥 olduğundan,

𝑝𝑑𝑥 = 2𝑥𝑑𝑝 + 2𝑝𝑑𝑥 − 6𝑝𝑑𝑝, −𝑝𝑑𝑥 = 2𝑥𝑑𝑝 − 6𝑝𝑑𝑝

𝑝 −yə bölərək alırıq:

−𝑑𝑥 = 2𝑥 /𝑝 ∙ 𝑑𝑝 − 6𝑑𝑝 ⇒ 𝑑𝑥/ 𝑑𝑝 + 2/ 𝑝 ∙ 𝑥 − 6 = 0

𝑥(𝑝) dəyişəninə nəzərən xətti tənlik aldıq. Inteqrallayıcı vuruq belə olur:

𝑢(𝑝) = 𝑒𝑥𝑝 (∫ 2 𝑝/ 𝑑𝑝) = 𝑒𝑥𝑝(2𝑙𝑛|𝑝|) == 𝑒𝑥𝑝(𝑙𝑛|𝑝|² )= |𝑝| ² = 𝑝 ²

Bu ifadəni Laqranj tənliyində yerinə yazaraq alırıq:

𝑦 = 2 (2𝑝 + 𝐶 /𝑝² ) ∙ 𝑝 − 3𝑝² = 4𝑝² + 2𝐶/ 𝑝 − 3𝑝² = 𝑝² + 2𝐶/ 𝑝

Beləliklə, verilmiş tənliyin ümumi həlli parametrik şəkildə belə olur:

𝜑(𝑝) − 𝑝 = 0 tənliyini həll edərək alırıq: 2𝑝 − 𝑝 = 0 və ya 𝑝 = 0

Onda tənliyin məxsusi həlli belə olur. 𝑦 = 𝜑(0) ∙ 𝑥 + 𝜓(0) = 0 ∙ 𝑥 + 0 = 0

KLERO TƏNLİYİ.
𝜑(𝑦 ′ ) = 𝑦 ′ olduqda Laqranj tənliyinin xüsusi halına baxaq.

Onda Laqranj tənliyi belə olar: 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑦 ′ + 𝜓(𝑦 ′ ) tənliyi Klero tənliyi adlanır.

𝑦 ′ = 𝑝 əvəzləməsi aparasaq, alarıq: 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑝 + 𝜓(𝑝)

𝑥-ə görə diferensiallayaraq alırıq: 𝑝 = 𝑝 + 𝑥 𝑑𝑝/ 𝑑𝑥 + 𝜓 ′ (𝑝) 𝑑𝑝/ 𝑑𝑥 və ya

(𝑥 + 𝜓 ′ (𝑝)) 𝑑𝑝 /𝑑𝑥 = 0

Əgər 𝑑𝑝/ 𝑑𝑥 = 0 olarsa, onda onda 𝑝 = 𝐶 yuxarıdakıları nəzərə alaraq tənliyin ümumi həllini alırıq:

𝑦 = 𝑥 ∙ 𝐶 + 𝜓(𝐶)

Əgər 𝑥 + 𝜓 ′ (𝑝) = 0 olarsa, tənliyin parametrik şəkildə xüsusi həllini alırıq:

𝑥 = −𝜓 ′ (𝑝), 𝑦 = 𝑥𝑝 + 𝜓(𝑝) tənliyi Klero tənliyinin məxsusi həllidir.
BİRTƏRTİBLİ BİRCİNS DİFERENSİAL TƏNLİKLƏR
Bircins diferensial tənliklər anlayışı bircins funksiyalar anlayışı ilə bağlıdır.

𝑃(𝑥, 𝑦) = ∑_{i, j} 𝑎_i,_j 𝑥ⁱ 𝑦^j funksiyası o zaman 𝑛 tərtibli bircins funksiya adlanır ki, onun hədləri bircins olsun.

Tərif 1. ∀𝑘 üçün 𝑃(𝑘𝑥, 𝑘𝑦) ≡ 𝑘ⁿ 𝑃(𝑥, 𝑦) olarsa 𝑃(𝑥, 𝑦) funksiyasına 𝑛 tərtibli bircins funksiya deyilir. Məsələn:

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥³ − 3𝑥𝑦² + 5𝑦³ funksiyası üç tərtibli bircins funksiyadır.

𝑓(𝑘𝑥, 𝑘𝑦) = (𝑘𝑥)³ -3𝑘𝑥∙(𝑘𝑦)²+5(𝑘𝑦)³ = 𝑘³(𝑥³-3𝑥𝑦²+5𝑦³ ) = 𝑘³

𝑓(𝑥, 𝑦). 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 diferensial tənliyinə baxaq.

Tərif 2. Əgər 𝑥, 𝑦 dəyişənlərinin diferensiallarlndakı 𝑃(𝑥, 𝑦) və 𝑄(𝑥, 𝑦) funksiyaları eyni tərtibli bircins funksiyalardırsa, onda diferensial tənliyi bircins diferensial tənlik adlanır. İsbat etmək olar ki, 𝑧 − 𝑥-dən asılı yeni funksiya olduqda 𝑧 = 𝑦/ 𝑥 əvəzləməsi ilə tənliyini dəyişənlərinə ayrıla bılən diferensial tənliyə gətirmək olar.

Tutaq ki, 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) şəklində yazılmışdır və ya 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 ; 𝑑𝑦 − əmsalı birdir, yəni sıfır tərtibli bircins funksiyadır, onda 𝑓(𝑥, 𝑦) də sıfır tərtiblı bircins funksiyadır. Tənliyinin sağ tərəfi 𝑓(𝑥, 𝑦) sıfır tərtibli bircins funksiya olduqda bircins adlanır. Bircins diferensial tənliyi 𝑦 ′ = 𝜑 ( 𝑦 /𝑥 )

şəklində yazmaq olar. 𝑧 yeni funksiya olduqda 𝑦 = 𝑥𝑧 vəzləməsi aparaq. 𝑦 = 𝑥𝑧-i diferensiallayaraq alırıq: 𝑑𝑦 /𝑑𝑥 = 𝑧 + 𝑥 𝑑𝑧/ 𝑑𝑥 ;

𝑦 və 𝑦 ′ -in ifadələrini yazaraq alırıq: 𝑧 + 𝑥 𝑑𝑧/ 𝑑𝑥 = 𝜑(𝑧) və

ya dəyişənləri ayıraraq alırıq: 𝑑𝑧 /𝜑(𝑧)−𝑧 = 𝑑𝑥 /𝑥 dəyişənlərinə ayrıla bilən diferensial tənlikdir.