Diferensial təNLİKLƏr aslı olmayan dəyişən X

F(x, y, 𝑦 ′_, 𝑦 ″, ..., y⁽ⁿ⁾ _{) = 0}
DƏYİŞƏNLƏRİNƏ AYRILA BİLƏN BİRTƏRTİBLİ

DİFERENSİAL TƏNLİKLƏR
Törəməyə nəzərən həll olunan bir tərtibli diferensial tənlik aşağıdakı kimidir:

𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) tənliyini 𝑦 ′ = f(𝑥) g(y) şəklində yazmaq mümkün olarsa,ona

dəyişənlərinə ayrılan tənlik deyilir.

Fərz edək ki, g(y) ≠ 0 Onda tənlik dy / g(y) = f(𝑥)dx

Tənliyin hər iki tərəfini inteqrallasaq ∫ dy / g(y) = ∫ f(𝑥)d

Misal . x=1 olduqda y=3 olarsa 2y𝑦 ′ = 1-3x² tənliyinin xüsusi həllini tapaq.

Həlli: Verilmiş tənliyi 2ydy = (1-3x² )dx şəklində yazaq.

Sonuncu bərabərliyin hər iki tərəfini inteqrallayaq ∫ 2ydy = ∫ (1-3x² )dx ⇒ y² =x-x³+c Başlanğıc şərtləri yerinə yazıb, c-ni tapaq 9=1-1+c ⇒ c=9

Axtarılan xüsusi həll y² =x-x³+9 x³+y²-x-9=0
BİRTƏRTİBLİ XƏTTİ DİFERENSİAL TƏNLİKLƏR

Əgər tənlik axtarılan 𝑦 funksiyasından və onun birinci tərtib törəməsindən ibarətdirsə və 𝑦𝑦 ′ hasilindən ibarət deyilsə, belə bir tərtibli diferensial tənlik xətti tənlik adlanır. Bir tərtibli diferensial tənliyin ümumi şəkli belədir:

𝑦 ′+P(x)y+Q(x)

P(x)y və Q(x) verilən funksiyalardır (xüsusi halda sabit kəmiyyətlərdir).

𝑦 =uv əvəzləməsi etməklə xətti tənliyi dəyişənlərinə ayrıla bilən tənliyə gətirmək olur:

Misal: 𝑦 ′-yctgx=sinx tənliyinin ümumi həllini tapaq.

Həlli: 𝑦 =uv əvəzləməsini etməklə 𝑦 ′= u ′v+u v ′ və tənlik

u ′v+u v ′- uvctgx=sinx ⇒ u ′v+u (v ′- vctgx) =sinx v ′- vctgx=0 tənliyini həll etsək dv/dx= vctgx, dv/v= ctgxdxdv/v=cosxdx/sinx, In (v)= In (sinx) v=sinx

c=0 halında v tənliyin xüsusi inteqralı kimi seçildi. v-nin qiymətini ikinci tənlikdə yerinə yazdıqda və onu həll etdikdə u-nu taparıq. u ′sinx=sinx, u ′=1,

du=dx, u= ­­x+c ⇒ u və v-ni bıldikdən sonra y funksiyasını tapsaq y=(x+c)sinx

BERNULLİ TƏNLİYİ

Bəzi bir tərtibli xətti olmayan diferensial tənliklər çevrilmələr vasitəsi ilə xətti tənliyə gətirilə bilir. Belə tənliklərdən biri də Bernulli tənliyidir:

𝑦 ′ + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥) ∙ 𝑦 ⁿ

𝑛 = 1 olduqda tənliyi dəyişənlərinə ayrıla bilən tənlik olur. 𝑛 = 0 olduqda tənlik xətti tənlik olur. Əgər 𝑛 − 0-dan və vahiddən fərqli ədəddirsə, onda 𝑧 = 𝑦 ^1-n əvəzləməsi vasitəsi ilə tənliyi yeni 𝑧 dəyişəninə nəzərən xətti tənliyə gətirilir.

Bernulli tənliyini 𝑦 = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) əvəzləməsi ilə xətti tənliyə gətirmədən həll etmək olur.