Ehtimal nəzəriyyəsi bütün təbiət elmlərinin təməl daşı, statistika isə

Muavr - Lapalasın inteqral teoreminin tətbiqləri

Asılı olmayan n sayda sınaqların hər birində A hadisəsinin baş vermə ehtimalı p ədədinə bərabərdir.

Muavr – Laplasın inteqral teoremini

ehtimalının qiymətləmdirməsinə tətbiq edək.

 p  
bərabərsizliyinin

Bu məqsədlə ^{ }  p   ^
 işarə edək. n in böyük qiymətlərində 

P  
 ⁿ 
ehtimalını tapmaq olar:


_P  ^ n ^

  p
    P_ 
 m  
pq ^

  _{ }

Deməli, Muavr – Laplasın inteqral teoremininə görə

 1 ^

• 
  _x2
  

P  p   _  _ e
² dx  1

_ 2 _
Beləliklə aşağıdakı teoremin doğruluğunu alırıq.
Bernulli teoremi. Tutaq ki, aparılan n Bernulli sınaqlarında müsbət nəticənin

baş vermə sayı dir.Bu halda
s_n , hər bir sınaqda müsbət nəticənin baş vermə ehtimalı isə p-


LimP
 p   _  0


bərabərliyi doğrudur.
A hadisəsinin p baş vermə ehtimalına əsasən əvvəcədən onun həqiqətən baş verməsi və ya baş verməməsi haqqında qəti fikir söyləyə bilmərik.Lakin külli miqdarda təcrübələrdə aşağıdakı faktın doğruluğu aşkar edilmişdir: ehtimalı vahidə yaxın hadisələr sanki hökmən baş verir, ehtimalı sıfra yaxın olan hadisələr isə çox nadir hallarda baş verir.Birinci növ hadisələri praktiki yəqin, ikinciləri isə praktiki mümkün olmayan hesab edirlər.Hadisənin praktiki mümkün olmaması üçün onun ehtimalı nə dərəcədə kiçik olmalıdır? Bu suala birqiymətli cavab vermək olmaz, çünkü burada baxılan hadisənin nə dərəcədə əhəmiyyətli olması nəzərə alınmalıdır.Məsələn, riyazi statistikada ehtimalı 0.001 və 0.005 sərhədləri arasında yerləşən hadisələr praktiki mümkün olmayan hesab edilir.
Bernulli teoremi təsdiq edir ki, külli miqdarda sınaqların seriyasında hadisələrin tezliyi ilə onun ehtimalı arasında fərqin istənilən qədər kiçik olması praktiki yəqin hadisədir.Beləliklə, bu teorem ehtimalın statistik tərifini əsaslandırır.
Bernulli teoremi 1713-cü ildə müəllifin ölümündən 8 il sonra latın dilində nəşr edilmişdir.Mütəxəssislər bu teoremi ehtimal nəzəriyyəsinin inkişafında mühüm kəşf kimi qiymətləndirmişlər.
Akademik B.V. Qnedenko: “ Bernulli teoremini mübaliğəsiz ehtimal nəzəriyyəsinin bir elm kimi varlığının başlanğıcı hesab etmək olar”.
Akademik A.A.Markov: Böyük ədədlər qanununun başlanğıcını qoyan teorem, birinci dəfə Bernullinin işində çap və isbat edilmişdir.Y. Bernulli özünün teoremini dəqiq söyləmiş və tam ciddiliklə isbat etmişdir
1.A hadisəsinin başvermə tezliyinin p ehtimalından kənarlaşmasının ^ ədədini aşmaması hadisəsinin ehtimalını tapın.Bu ehtimal aşağıdakı kimi hesablanır:

P^{ }  p   ^  P^  


  

n


  ^
  _
 




₁  _x 2 ₂

• 
  _x 2
  

 e
2 _n

pq
² dx 
2 ₀
e ² dx


 2 ^{ x}2

Beləliklə, ^{P
 p  } _ ^ _ ^{e 2 dx} = 2

_ 2 ₀

Axırıncı bərabərkikdə dörd
n,, p, 
parametr var. Onlardan üçü məlum

olduqda dördüncüsünü tapmaq olar.