Ehtimal nəzəriyyəsi bütün təbiət elmlərinin təməl daşı, statistika isə

Kəsilməz paylanmalar

Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətlərin ehtimalının paylanması paylanma funksiyası vasitəsilə təyin edilir. Lakin elə kəsilməz təsadüfi kəmiyyətlər vardır ki, onların F(x) paylanma funksiyası, müəyyən xassəsi olan digər bir

p(t)≥0, (-∞

funksiyası vasitəsilə
x
F⁽x⁾ = ∫ p⁽t⁾dt (1)
−∞

kimi sadə şəkildə göstərilir. Paylanma funksiyası (1) şəklində göstərilə bilən X təsadüfi kəmiyyətinə mütləq kəsilməz təsadüfi kəmiyyət, p(t)=p_x(t)

funksiyasına isə onun ehtimalının paylanma sıxlığı və ya sıxlıq funksiyası deyilir.
Sıxlıq funksiyasının aşağıdakı xassələri vardır.
1. P(t)≥0, -∞

−∞
^2. ∫^∞
p⁽t⁾ dt = 1

3. p(t) funksiyası t=x nöqtəsində kəsilməz olduqda

F´(x)=p(x) (2)
bərabərliyi doğrudur.
Ehtimal nəzəriyyəsində istifadə olunan kəsilməz paylanmalar aşağıdakılardır:

1. 
   Normal paylanma
   
2. 
   Üstlü paylanma
   
3. 
   Müntəzəm paylanma.
   

Normal paylanma: X təsadüfi kəmiyyətinin sıxlıq funksiyası

p⁽x⁾ = 1 e
^σ√^2π
₋(x−a)^2
2σ2 , − ∞ < 𝑥 < ∞, 𝜎 > 0 (3)

şəklində olduqda, ona normal qanunla və ya Qaus qanunu ilə paylanmış təsadüfi kəmiyyət deyilir.
Üstlü paylanma: X təsadüfi kəmiyyətinin sıxlıq funksiyası

_{p(x) = {}αe^−αe, x > 0
0, x ≤ 0

(4)

olduqda ona üstlü qanunla paylanmış təsadüfi kəmiyyət deyilir. α ədədi üstlü paylanmanın parametri adlanır. Bu halda, X kəsilməz təsadüfi kəmiyyətinin paylanma funksiyası

_{  } ^1  e^x , x  0
olduqda (5)

olar.
F x _
0, x  0

Müntəzəm paylanma: X təsadüfi kəmiyyətinin sıxlıq funksiyası

1



p⁽x⁾ = {^b−a
, xϵ^[a; b^], a < b olduqda

(6)

o, x ⋷ ^[a; b^]olduqda
olduqda ona müntəzəm paylanan kəsilməz təsadüfi kəmiyyət deyilir. A və b sabitləri müntəzəm paylanmanın parametrləri adlanır. Bu paylanma üçün paylanma funksiyası aşağıdakı kimi tapılır:
^{0, x  a}

^b  a
F x   ^{x  a}

_^{1, x  b}
, a  x  b
(7)

Çoxölçülü təsadüfi kəmiyyətlər

1. 
   Təsadüfü vektor ( çoxölçülü təsadüfü kəmiyyət) anayışı.
   
2. 
   Təsadüfü vektorun paylanma və sıxlıq funksiyası
   
3. 
   Asılı olmayan təsadüfü kəmiyyətlər.
   
4. 
   İki ölçülü paylanma funksiyasının xassələri.
   

Çoxölçülü təsadüfi kəmiyyətlər

Eyni bir elementar hadisələr fəzasında iki və daha çox təsadüfü kəmiyyət təyin edilə bilər.Belə zərurət obyekt bir neçə təsadüfi parametrlər ilə xarakterizə edildikdə yaranır. Məsələn, təsadüfi seçilmiş bir ailənin xərclərin quruluşunun ehtimal (stoxastik) modelləşdirilməsində ərzaqa , ayaqqabıya, paltara , kommunal xərclərə, nəqliyyata, mədəni tələbata və s. xərclər eyni bir elementar hadisələr fəzasında təyin edilmiş təsadüfü kəmiyyətlərdir.

^{Tutaq ki, X 1, X 2 ,..., X n eyni bir}  ^{elementar hadisələr fəzasında təyin}

edilmiş təsadüfü kəmiyyətlərdir.Bu təsadüfü kəmiyyətlərə X ^^  ^X₁ ^^,..., X _n ^^ n-ölçülü vektorunun kordinatları kimi baxmaq olar.Beləliklə, hər bir ^ elementar hadisəsinə n sayda təsadüfü kəmiyyətin nizamlanmış ^{X   X1 ,..., X} _n ^ yığımını ( n ölçülü təsadüfi vektorunu ) qarşı qoymaq olar. ^{Tərif 1. Kordinatları eyni}  ^{elementar hadisələr fəzasında təyin olunmuş}

X   X₁ ,..., X _n 
kəmiyyət) deyilir.
vektoruna n-ölçülü təsadüfi vektor ( n- ölçülü təsadüfü

^{Bu təsadüfü vektor}  ^{elementar hadisələr fəzasında təyin olunub və}

onun qiymətlər oblastı Rⁿ -dir.

Təsadüfü vektorun paylanma və sıxlıq funksiyası

Tərif. F x₁ ,..., x_n   PX₁  x₁ ,..., X_n  x_n 
funksiyasına n-ölçülü paylanma

n
funksiyası və yaxud deyilir.
X ₁ ,..., X _n
kəmiyyətlərinin birgə paylanma funksiyası

Bu funksiya bütün
R fəzasında təyin olunub. ^{X   X}₁ ^{,..., X} _n ^

vektoruna Rⁿ fəzasının nöqtəsi kimi baxdıqda, onun n-ölçülü paylanma

funksiyası X₁ ,..., X _n 
düşmə ehtimalı olur.
nöqtəsinin ^ , x^_n  ^t₁  x₁ ,...t_n  x_n ^
n-ölçülü intervalına

edir.
Təsadüfi vektorun paylanma funksiyası onun paylanma qanununu təyin
Təsadüfi vektorun mümkün qiymətlər çoxluğu sonlu və yaxud hesabi

n

çoxluq olduqda ona diskret təsadüfi vektor deyilir.Bu halda


_ PX  x_i   1
i 1

Burada,

10. 
     x_i1, x_{i 2} ,..., x_in 
    

n-ölçülü ədədi vektordur.

Diskret təsadüfü vektor mümkün qiymətlərinin -
x₁, x₂ ,..., x_n
vektorlarının

və p₁  P^X  x₁ ^, p₂  P^X  x₂ ^,..., p_n  P^X  x_n ^
ehtimallarının verilməsi ilə

birqiymətli təyin edilir.
Tərif . F ^x₁ ,..., x_n ^  P^X₁  x₁ ,..., X_n  x_n ^

funksiyası mütləq kəsilməz, yəni

x₁ x_n

Fx₁,...,x_n  
_..._ f u₁ ,...,u_n du₁...du_n

 

olduqda, ^X₁,..., X _n ^
vektoruna kəsilməz vektor,
f ^x₁ ,..., x_n ^ - nə isə onun sıxlıq

funksiyası və yaxud ehtimalların paylanma sıxlığı deyilir.

Sıxlıq funksiyası paylanma funksiyası ilə yanaşı n-ölçülü təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanununu təyin edir.

^{Diskret təsadüfü kəmiyyətlər üçün} A R^{n n-ölçülü fəzasının hər hansı}

altçoxluğu olduqda bərabərdir:
PX  A
ehtimalı
PX  x_i , x_i  A
ehtimallarının cəminə

PX  A  _PX  x_i 
x_i A

Kəsilməz təsadüfü kəmiyyətlər üçün X  A S olduqda

PX  A
ehtimalı

^{n-ölçülü sıxlıq funksiyasının} A ^{çoxluğu üzrə n-ölçülü inteqralına bərabərdir:}
PX  A  _ f x₁, x₂ ,...,x_n dx₁dx₂...dx_n
A

Sıxlıq funksiyasının xassələri.

1) f x₁ ,...,x_n   0, _ f x₁ ,...,x_n dx₁...dx_n  1
_Rn

2) f x₁ ,..., x_n  sıxlıq funksiyasının x₁ ,..., x_n 
_{  } ⁿFx , x ,...,x 

kəsilməyənlik nöqtələrində

f x₁, x₂ ,...,x_n
1 2 n

x₁x₂...x_n

Asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlər

Istənilən A və B çoxluqları üçün ^{ξ₁ ∈ A^} və ^{ξ₂ ∈ B^} hadisələri asılı olmadıqda, yəni P(ξ₁ ∈ A, ξ₂ ∈ B)=P(ξ₁ ∈ A)∙P(ξ₂ ∈ B) (1) bərabərliyi ödənildikdə ξ₁, ξ₂ kəmiyyətlərinə asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlər deyilir. Təsadüfi kəmiyyətlərin asılı olmaması şərtini başqa şəkildə də yazmaq olar. Doğrudan da ξ₁, ξ₂ kəmiyyətləri asılı olmadıqda istənilən x₁və x₂ həqiqi ədədləri üçün A=^{ξ₁ < x₁^} və B=^{ξ₂ < x₂^} hadisələri də asılı olmaz. Onda

1. 
   bərabərliyinə görə P(ξ₁ < x₁, ξ₂ < x₂)=P(ξ₁ < x₁)∙P(ξ₂ < x₂) və ya F(x₁ x₂)=F_ξ1 ⁽x₁⁾ ∙ F_ξ2 (x₂) (2)
   

alınır. Deməli, asılı olmayan kəmiyyətlərin birgə paylanma funksiyası onların
paylanma funksiyalarının hasilinə bərabərdir. Bu təklifin tərsi də doğrudur:

istənilən x₁və x₂ üçün (2) bərabərliyi ödənildikdə ξ₁, və ξ₂ kəmiyyətləri asılı olmur.
Teorem. P(t₁, t₂), P_ξ1 ⁽t₁⁾, P_ξ2 ⁽t₂⁾ funksiyalarının kəsilməz olduqları bütün nöqtələrdə P(t₁, t₂)= P_ξ1 ⁽t₁⁾ ∙ P_ξ2 ⁽t₂⁾ (3) bərabərliyinin ödənilməsi ξ₁və ξ₂ təsadüfi kəmiyyətlərinin asılı olmaması üçün zəruri və kafi şərtdir.
Teorem. Tutaq ki, ikiölçülü (ξ₁, ξ₂) diskret təsadüfi kəmiyyətinin paylanması

∞
P (ξ₁ = u⁽ⁱ⁾, ξ₂ = u^(j)) = P_ij ≥ 0, ∑ P_ij
= 1 ⁽4⁾

1 2
i,j=1
şəklində verilmişdir. Onda istənilən i, j ədədləri üçün

∞ ∞
P_ij = (∑ P_ij) ∙ (∑ P_ij) (5)

j=1 i=1

bərabərliyinin ödənilməsi ξ₁, ξ₂ təsadüfi kəmiyyətlərinin asılı olmaması üçün zəruri və kafi şərtdir.