Ehtimal nəzəriyyəsi bütün təbiət elmlərinin təməl daşı, statistika isə



Yüklə 242,6 Kb.
səhifə16/25
tarix24.01.2023
ölçüsü242,6 Kb.
#80553
1   ...   12   13   14   15   16   17   18   19   ...   25
Ehtimal-nəzəriyyəsi

Kəsilməz paylanmalar


Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətlərin ehtimalının paylanması paylanma funksiyası vasitəsilə təyin edilir. Lakin elə kəsilməz təsadüfi kəmiyyətlər vardır ki, onların F(x) paylanma funksiyası, müəyyən xassəsi olan digər bir


p(t)≥0, (-∞

funksiyası vasitəsilə
x
F(x) = ∫ p(t)dt (1)
−∞

kimi sadə şəkildə göstərilir. Paylanma funksiyası (1) şəklində göstərilə bilən X təsadüfi kəmiyyətinə mütləq kəsilməz təsadüfi kəmiyyət, p(t)=px(t)

funksiyasına isə onun ehtimalının paylanma sıxlığı və ya sıxlıq funksiyası deyilir.
Sıxlıq funksiyasının aşağıdakı xassələri vardır.
1. P(t)≥0, -∞


−∞
2.
p(t) dt = 1

3. p(t) funksiyası t=x nöqtəsində kəsilməz olduqda


F´(x)=p(x) (2)
bərabərliyi doğrudur.
Ehtimal nəzəriyyəsində istifadə olunan kəsilməz paylanmalar aşağıdakılardır:

  1. Normal paylanma

  2. Üstlü paylanma

  3. Müntəzəm paylanma.

Normal paylanma: X təsadüfi kəmiyyətinin sıxlıq funksiyası



p(x) = 1 e
σ
(x−a)2
2 , − ∞ < 𝑥 < ∞, 𝜎 > 0 (3)

şəklində olduqda, ona normal qanunla və ya Qaus qanunu ilə paylanmış təsadüfi kəmiyyət deyilir.
Üstlü paylanma: X təsadüfi kəmiyyətinin sıxlıq funksiyası

p(x) = {αe−αe, x > 0
0, x ≤ 0

(4)


olduqda ona üstlü qanunla paylanmış təsadüfi kəmiyyət deyilir. α ədədi üstlü paylanmanın parametri adlanır. Bu halda, X kəsilməz təsadüfi kəmiyyətinin paylanma funksiyası

1  ex , x  0
olduqda (5)

olar.
F x
0, x  0

Müntəzəm paylanma: X təsadüfi kəmiyyətinin sıxlıq funksiyası

1



p(x) = {b−a
, xϵ[a; b], a < b olduqda

(6)


o, x ⋷ [a; b]olduqda
olduqda ona müntəzəm paylanan kəsilməz təsadüfi kəmiyyət deyilir. A və b sabitləri müntəzəm paylanmanın parametrləri adlanır. Bu paylanma üçün paylanma funksiyası aşağıdakı kimi tapılır:
0, x a


b a
F x   x a

1, x b
, a x b
(7)

Çoxölçülü təsadüfi kəmiyyətlər



  1. Təsadüfü vektor ( çoxölçülü təsadüfü kəmiyyət) anayışı.

  2. Təsadüfü vektorun paylanma və sıxlıq funksiyası

  3. Asılı olmayan təsadüfü kəmiyyətlər.

  4. İki ölçülü paylanma funksiyasının xassələri.

Çoxölçülü təsadüfi kəmiyyətlər

Eyni bir elementar hadisələr fəzasında iki və daha çox təsadüfü kəmiyyət təyin edilə bilər.Belə zərurət obyekt bir neçə təsadüfi parametrlər ilə xarakterizə edildikdə yaranır. Məsələn, təsadüfi seçilmiş bir ailənin xərclərin quruluşunun ehtimal (stoxastik) modelləşdirilməsində ərzaqa , ayaqqabıya, paltara , kommunal xərclərə, nəqliyyata, mədəni tələbata və s. xərclər eyni bir elementar hadisələr fəzasında təyin edilmiş təsadüfü kəmiyyətlərdir.


Tutaq ki, X 1, X 2 ,..., X n eyni bir elementar hadisələr fəzasında təyin

edilmiş təsadüfü kəmiyyətlərdir.Bu təsadüfü kəmiyyətlərə X X1 ,..., X n  n-ölçülü vektorunun kordinatları kimi baxmaq olar.Beləliklə, hər bir elementar hadisəsinə n sayda təsadüfü kəmiyyətin nizamlanmış X X1 ,..., X n  yığımını ( n ölçülü təsadüfi vektorunu ) qarşı qoymaq olar. Tərif 1. Kordinatları eyni elementar hadisələr fəzasında təyin olunmuş



X   X1 ,..., X n 
kəmiyyət) deyilir.
vektoruna n-ölçülü təsadüfi vektor ( n- ölçülü təsadüfü

Bu təsadüfü vektor elementar hadisələr fəzasında təyin olunub

onun qiymətlər oblastı Rn -dir.


Təsadüfü vektorun paylanma və sıxlıq funksiyası





Tərif. F x1 ,..., xn   PX1 x1 ,..., Xn xn
funksiyasına n-ölçülü paylanma



n
funksiyası və yaxud deyilir.
X 1 ,..., X n
kəmiyyətlərinin birgə paylanma funksiyası

Bu funksiya bütün
R fəzasında təyin olunub. X X1 ,..., X n

vektoruna Rn fəzasının nöqtəsi kimi baxdıqda, onun n-ölçülü paylanma



funksiyası X1 ,..., X n
düşmə ehtimalı olur.
nöqtəsinin  , xn t1 x1 ,...tn xn
n-ölçülü intervalına

edir.
Təsadüfi vektorun paylanma funksiyası onun paylanma qanununu təyin
Təsadüfi vektorun mümkün qiymətlər çoxluğu sonlu və yaxud hesabi


n

çoxluq olduqda ona diskret təsadüfi vektor deyilir.Bu halda


PX xi   1
i 1

Burada,

  1.  xi1, xi 2 ,..., xin

n-ölçülü ədədi vektordur.


Diskret təsadüfü vektor mümkün qiymətlərinin -
x1, x2 ,..., xn
vektorlarının


p1 PX x1 , p2 PX x2 ,..., pn PX xn
ehtimallarının verilməsi ilə


birqiymətli təyin edilir.
Tərif . F x1 ,..., xn PX1 x1 ,..., Xn xn

funksiyası mütləq kəsilməz, yəni





x1 xn

Fx1,...,xn  
... f u1 ,...,un du1...dun

 

olduqda, X1,..., X n
vektoruna kəsilməz vektor,
f x1 ,..., xn - nə isə onun sıxlıq

funksiyası və yaxud ehtimalların paylanma sıxlığı deyilir.


Sıxlıq funksiyası paylanma funksiyası ilə yanaşı n-ölçülü təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanununu təyin edir.

Diskret təsadüfü kəmiyyətlər üçün A Rn n-ölçülü fəzasının hər hansı

altçoxluğu olduqda bərabərdir:
PX A
ehtimalı
PX xi , xi A
ehtimallarının cəminə

PX A  PX xi
xi A

Kəsilməz təsadüfü kəmiyyətlər üçün X A S olduqda


PX A
ehtimalı



n-ölçülü sıxlıq funksiyasının A çoxluğu üzrə n-ölçülü inteqralına bərabərdir:
PX A  f x1, x2 ,...,xn dx1dx2...dxn
A

Sıxlıq funksiyasının xassələri.


1) f x1 ,...,xn   0, f x1 ,...,xn dx1...dxn  1
Rn



2) f x1 ,..., xn  sıxlıq funksiyasının x1 ,..., xn
nFx , x ,...,x

kəsilməyənlik nöqtələrində



f x1, x2 ,...,xn
1 2 n

x1x2...xn


Asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlər


Istənilən A və B çoxluqları üçün {ξ1 ∈ A} {ξ2 ∈ B} hadisələri asılı olmadıqda, yəni P(ξ1 ∈ A, ξ2 ∈ B)=P(ξ1 ∈ A)∙P(ξ2 ∈ B) (1) bərabərliyi ödənildikdə ξ1, ξ2 kəmiyyətlərinə asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlər deyilir. Təsadüfi kəmiyyətlərin asılı olmaması şərtini başqa şəkildə də yazmaq olar. Doğrudan da ξ1, ξ2 kəmiyyətləri asılı olmadıqda istənilən x1və x2 həqiqi ədədləri üçün A={ξ1 < x1} və B={ξ2 < x2} hadisələri də asılı olmaz. Onda



  1. bərabərliyinə görə P(ξ1 < x1, ξ2 < x2)=P(ξ1 < x1)∙P(ξ2 < x2) və ya F(x1 x2)=Fξ1 (x1) ∙ Fξ2 (x2) (2)

alınır. Deməli, asılı olmayan kəmiyyətlərin birgə paylanma funksiyası onların
paylanma funksiyalarının hasilinə bərabərdir. Bu təklifin tərsi də doğrudur:

istənilən x1və x2 üçün (2) bərabərliyi ödənildikdə ξ1, və ξ2 kəmiyyətləri asılı olmur.
Teorem. P(t1, t2), Pξ1 (t1), Pξ2 (t2) funksiyalarının kəsilməz olduqları bütün nöqtələrdə P(t1, t2)= Pξ1 (t1) ∙ Pξ2 (t2) (3) bərabərliyinin ödənilməsi ξ1və ξ2 təsadüfi kəmiyyətlərinin asılı olmaması üçün zəruri və kafi şərtdir.
Teorem. Tutaq ki, ikiölçülü (ξ1, ξ2) diskret təsadüfi kəmiyyətinin paylanması


P (ξ1 = u(i), ξ2 = u(j)) = Pij ≥ 0, ∑ Pij
= 1 (4)

1 2
i,j=1
şəklində verilmişdir. Onda istənilən i, j ədədləri üçün

∞ ∞
Pij = (∑ Pij) ∙ (∑ Pij) (5)


j=1 i=1

bərabərliyinin ödənilməsi ξ1, ξ2 təsadüfi kəmiyyətlərinin asılı olmaması üçün zəruri və kafi şərtdir.





Yüklə 242,6 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   ...   12   13   14   15   16   17   18   19   ...   25




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin