Ehtimal nəzəriyyəsi bütün təbiət elmlərinin təməl daşı, statistika isə

Məsələ 5. Qeyri standart məmulatın hazırlanması ehtimalı 0.2-lir. Seçilmiş 625 məmulat içərisində yararlıların hissəsinin onun ehtimalından kənarlaşmasının mütləq qiymətcə 0.04-ü aşmaması ehtimalını tapın.

Həlli.Bu məsələdə,
n  625, p  0.8, q  0.2,  0.04 . ^

P


• 
  0.8  0.04^ ehtimalını
  




hesablamaq tələb olunur.Nisbi tezliyin sabit ehtimaldan kənarlaşması düsturundan istiufadə edək:
  ^ 625 ^

P  0.8  0.04   2^ 0.04
^  22.5 =
0.8  0.2




2 0.4938  0.9876
^  

2. 
   Tezliyin ehtimaldan kənarlaşmasının ^ ədədini aşmaması hadisəsinin verilmiş  ədədinindən kiçik olmaması üçün neçə sınaq aparılmalıdır?
   

P



İnteqral teoremə əsasən
 p   ^  





2 _{ e}
0

• 
  _x 2
  

² dx  

 _n 

olduğunu yaza bilərik. Deməli,
2^


pq _
 x_ .Laplas funksiyasının qiymətləri

cədvəlindən verilmiş ^ və  -ya görə n- tapırıq. Bunun üçün Laplas

funksiyasının qiymətləri cədvəlindən
x_
  ^
2
şərtini ödəyən
x_ ədədini

^{tapırıq.Bu funksiya monoton artan olduğu üçün} 


_x 2
 x_
olduğunu yaza

bilərik.Buradan isə
n  pq ^
_ 2
olduğunu alırıq.

Məsələ 6. Qutudan neçə detal çıxarmaq lazımdır ki, keyfiyyətsiz detalların nisbi tezliyinin ehtimaldan kənarlaşmasının 0.01 –i aşmamsını 0.95 ehnimalla gözləmək mümkün olsun.
Həlli. Riyazi model olaraq Bernulli sxemini götürək və Müavr – Laplasın inteqral teoremindən istifadə edək.


2 _{ e}
0

• 
  _x2
  

² dx  0.95

şərtini ödəyən a ədədinin tapılmasına gətirilir.

x_
  ^ =
2
0.475,


x_  1.96

x
2
n  pq ^
_ 2
 ¹ 
4
1.96 ²
0.01²


 9604

2. 
   Sınaqların sayı və ^ ehtimalı verildikdə
   

^  p n
mütləq qiymətinin mümkün

sərhədlərini tapın.Başqa sözlə, ^ və n verildikdə^ -nı tapmaq lazımdır.

 _n
P^{ }  p

  _  



bərabərliyini ödəyən ^ -nı




2



münasibətindən tapırıq.

• 
  _x 2
  

_ e ² dx  
0

Məsələ 7. Texniki nəzarət şöbəsi təsadüfi seçilmiş 800 məmulatın standartlara uyğunluğunu yoxlayır. Məmulatın standart olması ehtimalı 0.7- yə bərabərdir.0.9625 ehtimalla standart məmulatların hissəsinin hüdudlarını təyin edin.
Həlli. Məlumdur ki,


  ^ n ^
P  p     2^ _pq ^
  _{ }

Bu məsələdə
n  800, p  0.7, q  0.3.P  0.9625

^ 800 ^

^

^  0.9625
0.7  0.3 _

Laplas funksiyasının qiymətləri cədvəlindən
x  0.9625

oduqda x=2.08 olduğunu alırıq.Beləliklə, ^{
 2.08} .Buradan isə
  0.034

olar.
Beləliklə, standart məmulatların hissəsinin (0.266, 0.334) intervalında

yerləşdiyini 0.9625 ehtimalla gözləmək olar.

Təsadüfi kəmiyyətlər və onların paylanma funksiyası

1. 
   Təsadüfi kəmiyyət və onun paylanma funksiyası
   
2. 
   Paylanma funksiyasının xassələri
   
3. 
   Diskret paylanmalar
   
4. 
   Kəsilməz paylanmalar
   

Təsadüfi kəmiyyət və onun paylanma funksiyası

Təsadüfi kəmiyyət anlayışı ehtimal nəzəriyyəsinin əsas anlayışlarından biridir. Təsadüfi kəmiyyət, baxılan hadisəni kəmiyyətcə xarakterizə edən və təsadüfi amillərin təsiri ilə bu və ya digər şəkildə müxtəlif qiymətlər ala bilən kəmiyyətlərdir. Təsadüfi kəmiyyətin hansı qiyməti alacağını qabaqcadan qəti demək mümkün deyildir. Onun hər bir sınaqda aldığı qiymətlər müxtəlif səbəb və təsadüflərdən asılı olaraq dəyişir. Təsadüfi kəmiyyətləri latın əlifbasının son iri X, Y, Z,... hərfləri və ya yunan əlifbasının kiçik μ, ξ, η,... hərfləri, onların ala biləcəyi qiymətləri isə uyğun olaraq kiçik x, y, z,... hərfləri ilə işarə edirlər.

Əgər təsadüfi kəmiyyət sonlu və ya hesabi sayda izolə edilmiş x₁, x₂, … , x_n, … qiymətlərini ala bilirsə, ona diskret təsadüfi kəmiyyət deyilir. Təsadüfi kəmiyyətin ala bildiyi qiymətlər hər hansı sonlu və ya sonsuz intervalı təşkil edirsə, ona kəsilməz təsadüfi kəmiyyət deyilir. Təsadüfi kəmiyyətin verilməsi üçün onun ala biləcəyi qiymətlər çoxluğu və həm də bu qiymətləri hansı ehtimalla aldığı göstərilməlidir. Təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyasını təyin etmək üçün əvvəlcə təsadüfi kəmiyyətin ciddi-
riyazi tərifini vermək lazımdır.
Ω={ω} elementar hadisələr fəzasında təyin olunmuş və istənilən həqiqi x ədədi üçün
Ω_x ={ω|X(ω)şərtini ödəyən həqiqi X=X(ω) funksiyasına təsadüfi kəmiyyət deyilir.
Istənilən həqiqi x(−∞ < 𝑥 < ∞) ədədi üçün Ω_x çoxluğu σ - cəbr olan F sisteminə daxil olduğundan, onun ehtimalı təyin olunmuşdur. Bu ehtimala, yəni təsadüfi X kəmiyyətinin x-dən kiçik qiymətlər alması hadisəsinin ehtimalına həmin təsadüfi X kəmiyyətinin paylanma funksiyası deyilir və
F(x) |=^|F_x^|(x⁾ = |P⁽X < ^|x⁾ = P(X(ω) < 𝑥) (2) ilə işarə edilir.
^{X ≥ x^} hadisəsinin ehtimalı (2) bərabərliyinə əsasən
P(X ≥ x)=1-P(X< 𝑥)=1-F(x) (3)
bərabərliyi ilə hesablanır. Bundan başqa, x₁ < 𝑥₂ olduqda ^{X < x₁^} və
^{x₁ ≤ X ≤ x₂^} hadisələri uyuşmayandır və
^{X < x₂^}=^{X < x₁^} + ^{x₁ ≤ X < x₂^}
bərabərliyi ödənilir. Onda ehtimalların toplanma aksiomuna görə P(X < x₂)=P(X < x₁)+P(x₁ ≤ X < x₂)
və ya P(x₁ ≤ X < x₂)= P(X < x₂)- P(X < x₁)=F(x₂)-F(x₁) (4)
olar. Yəni ^{x₁ ≤ X < x₂^} hadisəsinin ehtimalının paylanma funksiyası vasitəsilə (4) bərabərliyi hesablanır.

Paylanma funksiyasının xassələri

Paylanma funksiyasının bir sıra xassələri vardır:

1. 
   Paylanma funksiyası azalmayandır. Doğrudan da hadisənin ehtimalı mənfi ədəd olmadığından istənilən x₁2 ədədləri üçün
   

P(x₁ ≤ X < x₂)= F(x₂)-F(x₁) (1)
bərabərliyindən
F(x₂)-F(x₁)≥0, F(x₂)≥F(x₁) (2) alınır.

2. 
   Paylanma funksiyası üçün aşağıdakı bərabərliklər doğrudur:
   

F   lim Fn  1
n


F   lim Fn  0
n
(3)

(4)

3. 
   Paylanma funksiyası istənilən nöqtədə soldan kəsilməyəndir, yəni istənilən x nöqtəsində F(x-0)=f(x) (5) bərabərliyi ödənilir.
   

Nəticə: Həqiqi dəyişənli f(x) funksiyası

−∞
^{f(x)≥0(-∞∫∞
f(x)dx = 1
(6)}

şərtlərini ödədikdə,



−∞
^F(x)=∫^∞

f(t)dt

(7)

funksiyası paylanma funksiyasıdır.

Diskret paylanmalar

Təsadüfi kəmiyyətin mümkün qiymətləri ilə onlara uyğun ehtimallar arasında əlaqə yaradan hər bir münasibətə təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunu deyilir. Təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunları müxtəlif formalarda olsa da, onların hamısından paylanma funksiyasını almaq həmişə mümkün olmalıdır. Təsadüfi kəmiyyətin ehtimalının paylanma qanunu bir sıra hallarda daha aydın və əlverişli şəkillərdə verilir. Bunların 2 əsas növü vardır. Fərz edək ki, diskret təsadüfi X kəmiyyətin aldığı sonlu və ya hesabi sayda x₁, …,x_n qiymətləri və bu qiymətlərin alma ehtimalları göstərilmişdir:

P(X=x_k)=P_k≥0, k=1,2,...,n,.... (1)
Burada cüt-cüt uyuşmayan {X=x₁},{X=x₂},...,{X=x_n},... (2)

hadisələri tam qrup təşkil etdiyindən
∞
∑ p_k = 1
k=1
(3)

şərti ödənilir. Diskret təsadüfi X kəmiyyətin aldığı x₁, …,x_n qiymətlərinin və bu qiymətləri almasının P⁽X = x_k⁾ = p_k ehtimallrının göstərilməsi onun paylanma qanununu təyin edir. Paylanma qanununun cədvəli aşağıdakı kimidir. Bu cədvələ diskret təsadüfi kəmiyyətin ehtimalının paylanma cədvəli deyilir.

X-in mümkün qiymətləri	x1	x2	...	xn	...
qiymətləri alma ehtimalları	p1	p2	...	pn	...

Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunu verildikdə onun paylanma funksiyası

kimi tapılır.
F⁽x⁾ = P⁽X < 𝑥⁾ = ∑ p_k
x_k<𝑥
(4)

Diskret paylanmaların növləri

Ehtimal nəzəriyyəsində ən çox istifadə olunan diskret paylanmalar aşağıdakılardır:

1. 
   Binomial paylanma
   
2. 
   Puasson paylanma
   
3. 
   Həndəsi paylanma
   
4. 
   Hiperhəndəsi paylanma
   

Binomial paylanma: X təsadüfi kəmiyyəti m=0,1,2,...,n mümkün qiymətlərini

n
P(X=m) = C^mp^m(1 − p)^n−m, 0

ehtimalı ilə aldıqda, ona binomial qanunla paylanmış diskret təsadüfi kəmiyyət deyilir. Burada n və p ədədləri binomial paylanmanın parametrləridir.
Puasson paylanması: X təsadüfi kəmiyyəti tam m=0,1,2,...,n mümkün
qiymətlərini P⁽X = m⁾ = ^λm ∙ e^−λ, λ>0 (2) ehtimalı ilə aldıqda, ona λ
m!
parametrli Puasson qanunu ilə paylanmış diskret təsadüfi kəmiyyət deyilir.
Həndəsi paylanma: X təsadüfi kəmiyyəti m=0,1,2,...,n mümkün qiymətlərini P(X=m)=p(1-p)^m, 0
(3) ehtimalları ilə aldıqda, ona p parametrli həndəsi qanunla paylanmış diskret təsadüfi kəmiyyət deyilir.
Hiperhəndəsi paylanma: X təsadüfi kəmiyyəti m=0,1,2,..., min(n,M) mümkün qiymətlərini

P X

m

m

N  M
_  _  _Cn_Cnm
(4)

C
n N

ehtimalı ilə aldıqda, ona hiperhəndəsi qanunla paylanmış diskret təsadüfi kəmiyyət deyilir.