Ehtimal nəzəriyyəsi bütün təbiət elmlərinin təməl daşı, statistika isə

Binomial paylanmanın xassələri:

1) ^p_n ^m  0,



_ p_n m  1
m0

Bu münasibətin doğruluğunu iki mülahizədən almaq olar.Birincisi, n ardıcıl asılı olmayan sınaqlar zamanı hadisələr ardıcıllıqları tam sistem təşkil

edir və onlardan hər hansının baş verməsi yəqin hadisədir.İkincisi, axırıncı münasibətin doğruluğu
n n

n
1ⁿ  p  qⁿ  _C^m p^m q^nm  _ pm

m0

binomunun açılışından alınır.

m0

2) p_n m ehtimalı m-dən asılı funksiya kimi özünün ən büyük qiymətini (n+1)p

ədədi kəsr olduqda (n+1)p ədədinin tam qiymətində, tam ədəd olduqda isə m=(n+1)p və m=(n+1)p-1 qiymətlərində alır.

Tərif.

p_n ^m^ ehtimal özünün ən böyük qiymətini m  m₀
qiymətində alarsa,

onda m₀
ədədi binomial paylanmanın modası,
p_n m₀ 
isə maksimal ehtimal

adlanır.
Məsələ 2 . 729 tələbəsi olan fakultədə nə qədər tələbənin yanvarın birində anadan olması ehtimalı ən böyükdür.

Həlli. (702; 1/365) parametrli binomial paylanmadan istifadə edə bilərik. (n+1)p=(729+1)*1/365=2
olduğuna görə, ən böyük ehtimallı ədəd 2 və 1, maksimal ehtimal isə

   
₂  ¹
2  ³⁶⁴ 727

^p729 ²
 p₇₂₉ 1
^{ C729}  ₃₆₅ 
^ 365 ^

olacaqdır.

   

4)n sayda Bernulli sınaqlarında müsbət nəticənin r-dən az syda baş

verməsiehtimalını



B_n r   _ p_n m kimi hesablamaq olar.
m0

Binomial paylanma üçün asimptotik düsturlar

Ehtimal nəzəriyyəsində
p_n ^m^ ehtimalı üçün müxtəlif asimptotik düsturlar

verilmişdir.Burada Puasson və Muavr-Laplas düsturları ilə tanış olacayıq.

Sual 13:Puasson teormi.

n  , np    C^k p^k
_qnk
 _k
k!
_e
Bu münasibət hər bir k-

n
ya görə müntəzəm ödənilir. İsbatı. Bu münasibət aşağıdakı bərabərliklərdən alınır:

k k nk
nn  1...n  k  1 np^k _{ }^nk

C_n p q  _nk
 1  p
k!

^{nn 1...n  k  1} _{ 1} _{1 } ¹ _..._{1 } ^{k  1} _{ 1}

n

n
_nk
nk
  
  
n 




₁ np


Lim1  p


np^k
Lim
k!
 Lim1  p
_k


k!
 Lim_1  p ^p _  e

Teoremə əsasən n kifayət qədər böyük, p isə kifayət qədər kiçik olduqda

_{ } np^k
np

p_n k  _k! e
asimptotik bərabərliyi doğrudur. Bu düsturdan adətən

p  0.1, npq  9
olduqda istifadə edilir.

n-in kifayət qədər böyük qiymətlərində Bernulli düsturundan istifadə

n

n
texniki cəhətdən çətinlik yaradır.Laplasın lokal teoremi p m  C^m p^m q^nm

ehtimalları hesablamaq üçün asimptotik yaxınlaşma düsturudur.(

lim ^x  1, x  
f x
olduqda, deyirlər ki, f(x)
x-n asimptotik yaxınlaşmasıdır).

Qeyd edək ki, xüsusi halda p=1/2 üçün asimptotik düstur 1730-cu ildə Muavr tərəfindən alınmışdır.1783 cü ildə isə Laplas bu düsturu istənilən 0  p  1 üçün isbat etmişdir.

Teorem. Əgər asılı oımayan sınaqlar zamanı müsbət nəticənin baş veməsi ehtimalı, p sabitdirsə, onda

Lim
npqp_n
m
1 ^{ x}2



2
e
2

doğrudur, burada x  və x müəyyən sonlu parçada dəyişdikdə bütün

k=0,1,...,n qiymətlərində yığılma müntəzəmdir.

Teoremə əsasən aparılan n sınaqda hadisənin m dəfə baş verməsi ehtimalı təqribən

_{ } 1
   
1 ^{ x}2

p_n m
 
npq
x , x
 e ²
2

bərabərliyi ilə təyin edilir.
^x -in müsbət qiymətləri üçün


x funksiyasının qiymətləri cədvəli işlənib

hazırlanmışdır.
x
tək funksiya olduğu üçün ^x -in mənfi qiymətləri üçün də

həmin cədvəldən istifadə etmək olar.

Məsələ 3. Qeyri standart detalın hazırlanması ehtimalı 0.004-dür.1000 detaldan beşinin qeyri standart olması hadisəsinin ehtimalını təyin edin.

Həlli.Bu məsələdə,
n  1000, p  0.004,  np  1000 0.004  4

Puasson düsturuna əsasən

p₁₀₀₀ 5 
⁴5  4

e
5!
 0.1563

İndi isə bu ehtimalı Muavr-Laplas düsturuna əsasən hesablayaq:

x  
1
1.9960
 0.501

Muavr-Laplas düsturuna əsasən axtarılan ehtimalın təqribi qiyməti

^p1000
5  f 0.501
1

1.9960
 ^0.3519  0.1763

1.9960

Bu ehtimalın Bernulli düsturuna əsasən tapılmış dəqiq qiyməti isə

1000
olar.
^p1000
5  C⁵
 0.004  0.996 ⁹⁹⁵  0.1552

Beləliklə,
^p1000 ^5
ehtimalının Muavr-Laplasın təqribi düsturuna əsasən

hesablanmış nisbi xətası
0.1763  0.1552 _{ 0.136}
0 /1552
və ya 13.6%, Puasson düsturuna

əsasən isə
^{0.1563  0.1552}  0.007və ya 0.7% təşkil edir.
0.1552

Aparılan n sayda Bernulli sınağında “ müsbət” nəticənin baş vermə sayının müəyyən parçada yerləşməsi ehtimalını hesablamaq üçün asimptotik düsturu Muavr – Laplasın inteqral troremindən almaq olar.

Teorem.

^ s  np ^
₁ b _ x²

P^ a  ⁿ  b ^ 
_{ e} 2

 
  ^a

münasibəti müntəzəm ödənilir.

₁ x _ ^{u 2}
x  _ e ^u du
2 ₀

funksiyasına Laplas funksiyası deyilir.

Laplas funksiyasının müsbət x-lər üçün qiymətləri cədvəli işlənib hazırlanmışdır.Bu funksiya tək funksiyadır, yəni
x  x

şərti ödənilir.Bu isə o deməkdir ki,
x
funksiyasının mənfi x-lər üçün

qiymətlərini axırıncı düsturun köməyi ilə hesablamaq olar.

Cədvəldə
x
funksiyasının qiymətləri
x  5
üçün verilmişdir.
x  5

olduqda
x  0.5
qəbul ertmək olar.

Laplas funksiyasının qiymətləri cədvəlindən istifadə etmək üçün

^ s  np ^
₁ b _ x²

P^ a  ⁿ  b ^ 
_{ e} 2
münasibətini aşağıdakı kimi yazaq:

 
  ^a

^ s  np ^
₁ 0 _ x²


₁ b _ x²


₁ b _ x²


₁ a _ x²

P^ a  ⁿ  b ^  _ e ² dx  _ e ² dx  _ e ² dx  _ e ² dx  b  a
 
_{ } a 0 0 0

Qeyd edək ki, ^m
 m  m 
hadisəsi
^ ^{m1  np} _ ^{m  np} _ ^{m2  np } _{hadisəsi ilə}


_{1 2}  


eynigüclü hadisədir.Ona görə də asılı olmayan n sınaqda hadisənin ən azı m₁ ,

ən çoxu isə m₂
dəfə başverməsi ehtimalınl təqribən
p_n m₁ , m₂   x₂  x₁ 

bərabərliyi ilə hesablamaq olar.

1
Burada

10. 
     ^{m1  np} , x  ^.
    

2
Məsələ 4. Sığorta şirkətində 10000 abtomobil sığorta edilmişdir.Qəza nəticəsində istənilən avtomobilin sıradan cıxma ehtimalı 0.006-dır.Sığorta edilmiş hər bir avtomobilin sahibi ildə 12 manat sığota haqqı ödəyir və avtomobilin sıradan cıxması nəticəsində çirkətdən 1000 manat alır.İlin sonunda a) şirkətin bankrot olması hadisəsinin, b) ən azı 40000 manat mənfəət əldə etməsi ehtimalını təyin edin.
Həlli. a) Tutaq ki, il ərzində n sayda avtomobil qəza nəticəsində sıradan cıxmışdır.Şirkətin bankrot olması üçün onun avtomobil sahiblərinə ödədiyi məbləğ il ərzində ödənilmiş sığorta haqqından cox olmalıdır.Bu isə o deməkdir ki,
10000 n  10000  n12
bərabərsizliyi ödənilməlidir.Bu bərabərsizliyi n-ə görə həll etsək və n-in tam

ədəd olduğunu nəzərə alsaq
n  119
olduğunu alarıq.

Beləliklə, şirkətin bankrot olması üçün il ərzində ən azı 120 avtomobil qəza nəticəsində sıradan çıxmalıdır.Bu isə il ərzində 120, yaxud 121,..., yaxud da 10000 avtomobilin sıradan cıxması deməkdir.Beləliklə, baxılan halda
n  10000 , p  0.006, q  0.994, k₁  120, k₂  10000


n  10000 , p  0.006, q  0.994, k₁  13, k₂  10000 qəbul etmək lazımdır.

x₁ 
 7.769

2
_{x } 10000 10000  0.006 _
1287.116

Bu halda axtarılan ehtimal
x₂  x₁   1287 .116  7.769   0.5  0.5  0

b) Sığorta şirkətinin il ərzində 40000 manat mənfəət əldə etməsi üçün

10000  n12 1000 n  40000

bərabərsizliyi ödənilməlidir.Buradan isə
n  79
olduğunu alırıq.

x₁ 


x₂ 
 2.460


 1287.1162

Bu halda
x₂  x₁ =1287 .1162  2.460   0.5  0.4931  0.069
ədədi ən azı

79 avtomobilin sıradan çıxması hadisəsinin ehtimalıdır. Ən çoxu 78 avtomobil sıradan şıxdıqda şirkət ən azı 40000 manat mənfəət əldə edər. Bu hadisələr

qarşılıqlı hadisələr olduğu üçün axtarılan ehtimal 1 0.069  0.931 olar.