Ehtimal nəzəriyyəsi bütün təbiət elmlərinin təməl daşı, statistika isə

Ehtimalın sadə xassələri

Ehtimala Ω elementar hadisələr fəzasının F hadisələr cəbrində təyin olunmuş hesabi-additiv çoxluq funksiyası kimi verilmiş tərifdən bir sıra nəticələr alınır:

1. 
   Verilmiş AF hadisəsinin qarşılıqlı əksi olan A _{hadisəsinin ehtimalı}
   

PA 1  P( A)
(1)

bərabərliyi ilə hesablanır. Doğrudan da, AF və Ω F olduğundan

A    A

olur. A və A hadisələri uyuşmayandır və onların cəmi yəqin hadisədir: A + A = Ω. Onda E₂ - ^E3 aksiomlarına görə
PA PA P  1 _olar.
PA 1  PA

2. 
   Mümkün olmayan hadisənin ehtimalı sıfra bərabərdir:
   

P(Ø)=0 (2)
Bu nəticəni almaq üçün (1) bərabərliyində A= Ω götürmək və E₂ aksiomundan istifadə etmək lazımdır.

3. 
   Istənilən AF və BF hadisələrinin cəminin ehtimalı üçün
   

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) (3)
bərabərliyi doğrudur.

4. 
   Istənilən AF və BF hadisələri üçün
   

P(A+B)≤P(A)+P(B) (4)

5. 
   A hadisəsi B hadisəsini doğurursa, yəni A  B münasibəti doğrudursa, onda
   

P(A) ≤P(B) (5)

6. 
   İstənilən AF hadisəsinin ehtimalı
   

0 ≤ P(A) ≤1 (6)
bərabərliyini ödəyir.

7. 
   Hadisələr ardıcıllığının aşağıdakı kimi xassəsi də vardır:
   

A₁  A₂  ...  A_n  A_{n 1}  ... və


∪
A  A_n
n 1

olduqda
və ya
A₁  A₂  ...  A_n  A_{n 1}  ... və


^{PA } lim PA 


∩
A  A_n
n 1

bərabərliyi doğrudur.

n ⁿ

Ehtimalın vurma düsturu

1. 
   Hadisələr hasilinin ehtimalı
   
2. 
   Tam ehtimal və Bayes düsturu
   

Hadisələr hasilinin ehtimalı

B hadisəsinin baş verməsi şərtində A hadisəsinin P(A/B) şərti ehtimalı

P(A/B)= ^P(AB)
P(B)
(1)

düsturu ilə hesablanır. Buradan, B hadisəsinin P(B)>0 şərtsiz ehtimalı məlum olduqda A və B hadisələrinin eyni zamanda baş verməsinin ehtimalını təyin etmək olar:
P(AB)=P(B)∙P(A/B) (2)
Burada, A və B hadisələrinin yerini dəyişməklə aşağıdakı bərabərlik alınır:
P(AB)=P(A)∙P(B/A) (3)

2. 
   və (3) bərabərlikləri ehtimalların vurma teoremini ifadə edir. Həmin bərabərlikdən aşağıdakı münasibəti almış olarıq:
   

P(A)∙P(B/A)=P(B)∙P(A/B) (4)

2. 
   bərabərliyini istənilən sonlu sayda A₁,...,A_n hadisələri üçün ümumiləşdirmək olar.
   

Teorem (ehtimalların vurma teoremi): P(A₁)>0, P(A₁A₂)>0,. ,
P(A₁...,_n)>0 şərtlərini ödəyən sonlu sayda A₁,...,A_n hadisələri üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur:
P(A₁,...,A_n)=P(A₁) P(A₂/A₁) ∙ P (A₃/A₁A₂)…P (A_n/A_1, ,A_n-1)

Sual 10 və 11: Tam ehtimal və Bayes düsturu

Tutaq ki, cüt-cüt uyuşmayan A₁, A₂, … , A_n hadisələri tam qrup təşkil edir və B hadisəsi bu hadisələrin hər hansı biri ilə eyni zamanda baş verir. A_k hadisələrinin P(A_k) ehtimalı və B hadisəsinin P(B/A_k) (k=1,2,...,n) şərti ehtimalları məlumdur. B hadisəsinin P(B) ehtimalını tapmaq tələb olunur. Bu məsələni həll etmək üçün qeyd edək ki, cüt-cüt uyuşmayan və tam qrup təşkil edən A_khadisələrinin cəmi yəqin hadisədir:

n
⋃ A_k = Ώ
k=1
Buna görə də B hadisəsini cüt-cüt uyuşmayan BA_k hadisələrinin
n
B = ⋃(BA_k)
k=1
cəmi şəklində göstərmək olar. Buradan E₃ aksiomuna görə
n
P⁽B⁾ = ∑ P⁽BA_k⁾
k=1
münasibətini və sağ tərəfdəki hədlərə ehtimalların vurma teoremini tətbiq etdikdə

bərabərliyi alınar.

n
P⁽B⁾ = ∑ P⁽A_k⁾P⁽B/A_k⁾
k=1

(2) düsturuna tam ehtimal düsturu deyilir. Bu düsturdan istifadə etməklə aşağıdakı məsələni həll etmək olar:

Tutaq ki, cüt-cüt uyuşmayan və tam qrup təşkil edən A_k (k=1,2,...,n) hadisələrinin P(A_k) ehtimalları keçirilməli olan müəyyən sınaqdan əvvəl verilmişdir. Sınaq aparıldıqda B hadisəsi baş verir və bu hadisənin A_khadisələrinə nəzərən P(B/A_k) şərti ehtimalları məlumdur. B hadisəsinin baş verməsi A_k hadisəsinin ehtimalını necə dəyişir?
Bu məsələni həll etmək üçün
P(BA_k)=P(B)P(A_k/B)=P(A_k)P(B/A_k)
bərabərliklərindən istifadə etmək lazımdır. Buradan

A_k
P ( _B ) =
bərabərliyi və (2) düsturuna əsasən
P⁽A_k⁾P(B/A_k) P(B)

PA_k
/ B 
PA_k PB / A_k 

n
_ PA_k PB / A_k 
k 1
(3)

Münasibəti alınır. (3) bərabərliyinə Bayes düsturu deyilir.