Ehtimal nəzəriyyəsi bütün təbiət elmlərinin təməl daşı, statistika isə

TƏSADÜFÜ KƏMİYYƏTİN MOMENTLƏRİ

Təsadüfü kəmiyyətin ala bildiyi qiymətləri və bu qiymətləri hansı ehtimalla aldığını göstərən paylanma funksiyası onun ən mükəmməl xarakteritikasıdır.Paylanma funksiyası isə bəzən bir və ya bir neçə parametrdən asılı olur.Məsələn, normal paylanma iki parametrdən asılıdır.Paylanma funksiyasının parametrləri, bir qayda olaraq, təsadüfi kəmiyyətin mühüm ədədi xarakteristikaları olan müxtəlif tərtibli momentlər vasitəsilə ifadə olunur.Təsadüfü kəmiyyətin momentlərini hesablamaqla onun paylanma funksiyasını təyin etmək mümkün olur.

Tərif .
EX  cⁿ 

_x  cⁿ dFx


^ədədinə X ^{təsadüfi kəmiyyətinin c ədədinə görə n-tərtibli momenti deyilir.} Diskret və kəsilməz təsadüfü kəmiyyətlər üçün bu düsturu uyğun olaraq

i

i
Ex  cⁿ  _x

• 
  cⁿ p ^və
  

Ex  cⁿ 

_x  cⁿ f xdx

ⁱ 

bərabərliklərinə çevrilir. Xüsusi halda
c  0, c  EX
olarsa

n
b  EX ⁿ 

_ xⁿdFx



n
m  EX  EX ⁿ  _ x  EX ⁿ dFx

alarıq.
Tərif. b_n


^kəmiyyəti X ^{kəmiyyətinin n tərtibli başlanğıc momenti, mn}

isə onun momenti adlanır.

Təsadüfü kəmiyyətin başlanğıc və mərkəzi momentləri arasında əlaqə vardır:

 _b m
n

b
ni
n i i
i0



n
m  _Cⁱ  b ^ni b
n n 1 i i0

Doğrudan da, istənilən ,  ədədləri üşün yaza bilərik:

n

n
EX   ⁿ  EX        ⁿ  _Cⁱ EX   ⁱ    ^ni
i0

Bu düstur ^ ədədinə görə n tərtibli momenti,  ədədinə görə n-dən kiçik tərtibli momentlərlə ifadə etməyə imkan verir.

Bü düsturlardan xüsusi hallarda aşağıdakı düsturlar alınır:

m₂  b₂

• 
  b ²
  

1
m  2b ²  3b b
3 1 1 2
m  3b ⁴  6b ²b  4b b  b

4 1 1 2
a  a ²  b
1 3 4

2 1 2
a₃  a


a  a ⁴  6² b  4a b  b
4 1 1 2 1 3 4

Praktikada 3 və 4 tərtibli momentlərdən istifadə edilir

Böyük ədədlər qanunu

1. 
   Böyük ədədlər qanunun mahiyyəti
   
2. 
   Böyük ədədlər qanunun statistika təcrübəsində əhəmiyyəti. Praktiki yəqinlik prinsipi.
   
3. 
   Çebışev bərabərsizliyi
   
4. 
   Böyük ədədlər qanunu haqqında teoremlər
   
5. 
   Xarakteristik funksiyalar
   
6. 
   Mərkəzi limit teoremləri
   

Böyük ədədlər qanunun mahiyyəti

Ehtimal nəzəriyyəsi və onun tətbiqi sahələrində çoxlu sayda təsadüfü kəmiyyətlərin cəmi şəklində göstərilən təsadüfi kəmiyyətlərə tez-tez təsadüf edilir.Belə təsadüfü kəmiyyətlərin cəminin paylanma qanununun bilavasitə tapılması müəyyən çətinliklərlə bağlıdır.Məlumdur ki, riyazi gözləmələri ^a ,

dispersiyaları  ² olan asılı olmayan eyni paylanmaya malik X , X ,..., X təsadüfü
1 2 n

kəmiyyətlərinin hesabi ortası böyük n-lər üçün dayanıqlıdır və riyazi

gözləmədən az fərqlənır , dispersiyası isə
n  
şərtində sıfra yaxınlaşır.

Deməli, n-in böyük qiymətlərində n sayda asılı olmayan təsadüfü kəmiyyətlərin ədədi ortasının müəyyən mənada ^a -ya bərabər olduğunu qəbul etmək olar.Beləliklə, asılı olmayan təsadüfü kəmiyyətlərin hesabi ortasının böyük n-lər üçün dayanıqlıq xassəsinin riyazi ifadəsi böyük ədədlər qanunu vasitəsi ilə verlir.
Böyük ədədlər qanuna aid olan teoremlər təsadüfü kəmiyyətlərin ədədi ortasının hansı şərtlər daxilində dayanıqlı olması şərtlərini müəyyələşdirir.Mərkəzi limit teoremlərində isə n sayda təsadüfü

kəmiyyətlərin normallaşdırılmış cəminin malik olması şərtləri ifadə edilir.
n  
şərtində normal paylanmaya

Bu mövzuda biz böyük ədədlər qanununun və mərkəzi limit teoremlərinin bəzi teoremləri ilə tanış olacayıq.Bu teoremlərin ehtimal şərhi müşahidələrin sayı kifyəd qədər böyük olduqda onların hesabi ortalar ardıcıllığının xassəsinin öyrənilməsindən ibarətdir.Htsabi ortalar bir sıra maraqlı xassələrə malikdirlər. Hesabi ortanı formalaşdıran hər bir müşahidənin nəticəsi hər hansı bir təsadüfü kəmiyyətin realizasiyası olduğu üçün onun kəmiyyəti haldan(təsadüfdən) asılı olacaqdır.Ancaq müşahidələrin sayı çox olduqda müxtəlif təsadüfü amillərin təsiri qarşılıqlı silinir, nəticədə müşahidənin nəticələrinin hesabi ortası realizasiyası müşahidə edilən təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsindən cüzi fərqlənir.
Böyük ədədlər qanunu təcrübədıə mühüm əhəmiyyətə malikdir.Bu qanun statistik tədqiqatların – uçot və hesabat məlumatlarının toplanmasının, kütləvi hadisələrin qanunuuyğunluqlarının aşkar edilməsinin əsasını təşkil edir.Böyük ədədlər qanununa görə müşahidələrin sayının qeyri-məhdud artması ilə müxtəlif təsadüfi meyllər qarşılıqlı silinir və nəticədə müşahidələrin nəticələrinin hesabi ortası, tədqiq edilən əlamətin statistik yığımdakı orta kəmiyyətindən vahidə kifayət qədər yaxın ehtimalla cüzi surətdə fərqlənənir.
Kəmiyyətlərin əsil qiymətini təyin edərkən bu və ya başqa dərəcədə xətaya yol verilir.Məsələn, tərəzi çəkinin , termametr temperaturun, ampermetr cərəyan şiddətinin əsil qiymətini dəqiq deyil, təqribi qiymətini

göstərir.Hər hansı a kəmiyyətini təyin edərkən, onun qiymətləri vasitəsi ilə təyin edilən
X₁, X ₂ ,..., X_n
təcrübi

_{X } X₁  X ₂  ... X_n n _n

kəmiyyətindən geniş istifadə olunur.Məhz bu kəmiyyət n-nin kifayət qədər böyük qiymətlərində a-nın əsil qiymətini aşağıda dəqiqləşdiriləcək mənada çox yaxın olur.

Ölçmə prosesində təsadüfü amillər olduğuna görə, onun
X₁, X ₂ ,..., X_n

nəticələrinə təbii olaraq təsadüfü kəmiyyət kimi baxılmalıdır.Ölçmə nəzəriyyəsində aşağıdakı fərziyyə əsas götürülür: aparılan ölçmələrin sayı kifayət qədər böyük olduqda alınan nəticələrin ədədi ortası müəyyən bir a sabitinə olduqca yaxın olur.Belə xassəyə malik olan a sabitini ölçülən kəmiyyətin əsil qiyməti kimi götürmək təbiidir.

Yuxarıda şərh edilən təcrübi fərziyyə , riyazi cəhətdən ehtimal nəzəriyyəsinin böyük bir bölməsini təşkil edən böyük ədədlər qanunu vasitəsi ilə əsaslandırılır.Ehtimal nəzəriyyəsində böyük ədədlər qanunu dedikdə , təsadüfü kəmiyyətlər ardıcıllığının bu və ya digər mənada müəyyən sabitə yığılması haqqında teoremlər nəzərdə tutulur.Böyük ədədlər qanununun ilk formasını 1713-cü ildə Y. Bernulli kəşf etmişdir.Hadisənin baş vermə tezliyinin onun ehtimalına yığılması haqqında Bernulli teoreminin tarixən fundamental əhəmiyyəti onunla izah olunur ki, bu teorem ehtimalın statistik tərifini riyazi əsaslandırır.Həmin teorem bir çox alimlərin diqqətini cəlb etmiş və müxtəlif istiqamətlərdə gücləndirilmişdir.
Böyük ədədlər qanunu klassik formada belə ifadə olunur.

X_n , n  1 təsadüfü kəmiyyətlər ardıcıllığı
n  
olduqda

1 ⁿ  1 ⁿ 

_{n } X_i  E _{n } X_i   0

i 1
 i 1 

şərtini ödəyərsə, həmin ardıcıllıq üçün böyük ədədlər qanunu ödənilir deyilir.

Bu qanunu ilk dəfə rus riyaziyyatçısı A.Markov ifadə etmişdir.

Burada yığılma ehtimal mənada başa düşülür.Beləliklə, böyük ədədlər qanunu n sayda təsadüfü kəmiyyətlərin cəminin öz riyazi gözləməsinə ehtimal mənada yaxınlaşması şərtlərini müəyyən edir.