Ehtimal nəzəriyyəsi bütün təbiət elmlərinin təməl daşı, statistika isə

Asılı olmayan hadisələr

1. 
   Asılı olmayan hadisələr
   
2. 
   Bir neçə hadisənin asılı olmaması
   

Asılı olmayan hadisələr

Hadisələrin asılı olmaması ehtimal nəzəriyyəsinin əsas anlayışlarından biridir. A və B hadisələri üçün

P(AB)=P(A) ∙ P(B) (1)
bərabərliyi ödənildikdə onlara asılı olmayan hadisələr deyilir. (1) bərabərliyini əvvəlki paraqrafda alınmış
P(AB)=P(B)∙P(A/B) (2)
və P(AB)=P(A)∙P(B/A) (3)
bərabərlikləri ilə müqayisə etsək, onda P(B)≠0 və P(A) ≠0 olduqda, uyğun olaraq
P(A/B)=P(A) (4)
və P(B/A)=P(B) (5)
bərabərlikləri alınar.
P(B)>0 olduqda (4) bərabərliyindən (1) alınır. Deməli, P(B)>0 olduqda A və B hadisələrinin asılı olması üçün (4) bərabərliyinin ödənilməsi zəruri və kafi şərtdir. P(A)>0 olduqda isə A və B hadisələrinin asılı olmaması üçün (5) bərabərliyinin ödənilməsi zəruri və kafi şərtdir. (4) və (5) bərabərliklərinin hər hansı birinin doğruluğundan o birinin doğruluğu çıxır. Doğrudan da, tutaq ki,

2. 
   bərabərliyi doğrudur. Onda
   

P(A)∙P(B/A)=P(B)∙P(A/B)
bərabərliyindən (5) alınar. Buradan aydın olur ki, asılı A və B hadisələri üçün P(A/B)≠P(A)
P(B/A)≠P(B)
olar. Uyuşmayan A və B hadisələri asılı hadisələrdir. Doğrudan da, bu halda A və B hadisələrinin birinin baş verməsi digərinin baş verməməsi deməkdir. Yəni,
P(A/B)=P(B/A)=0
bərabərlikləri ödənilir. Qeyd edək ki, A və B hadisələri asılı olmadıqda A və B^̅, A^̅ və B, A^̅ və B^̅ hadisələri də asılı olmur. A və B hadisələri asılı olmadıqda onların cəminin ehtimalını
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
düsturu ilə hesablamaq olar.
Istənilən sonlu sayda A₁, A₂, … , A_n hadisələrinin asılı olmamasından da danışmaq olar. Verilmiş A₁, A₂, … , A_n hadisələrinin ixtiyari biri yerdə qalan hadisələrin hər birindən və onların mümkün ola bilən istənilən hasilindən asılı olmadıqda, onlara qarşılıqlı asılı olmayan və ya sadəcə olaraq asılı olmayan hadisələr deyilir. Asılı olmayan hadisələr cüt-cüt asılı olmayandır, lakin bunun tərsi doğru deyildir.
Tutaq ki, A₁, A₂, … , A_n hadisələri asılı olmayandır. Onda tərifə görə
P⁽A₂/A₁⁾ = P⁽A₂⁾, P⁽A₃/A₁A₂⁾ = P⁽A₃⁾,
..............................
P⁽A_n−1/A₁ … A_n−2⁾ = P⁽A_n−1⁾, P⁽A_n/A₁ … A_n−1⁾ = P⁽A_n⁾
münasibətləri ödənilir. Bu halda
P⁽A₁, A₂, … , A_n⁾ = P⁽A₁⁾P⁽A₂/A₁⁾ … P⁽A₁A₂ … A_n−1⁾

bərabərliyi
kimi yazılır.

P⁽A₁, A₂, … , A_n⁾ = P⁽A₁⁾P⁽A₂⁾ … P⁽A_n⁾ (6)

^{Məsələ 1. Metal pul iki dəfə atılır.} A ^{ilə qerb üzünün birinci,} B ^{ilə ikinci dəfə düçməsi hadisəsini işarə edək.} A ^və B ^{hadisələrinin asılı olmadıqlarını} göstərin. Həlli. Metal pul iki dəfə atıldıqda elementar hadisələr fəzası
  GG,GR, RG, RRolar.Onda A  GG,GR; B  GG, RG; AB  GG

PA  ²  ¹ ; PB  ²  ¹ ; PAB  ¹
Deməli,
PAB  PAPB
^{.Beləliklə,} A ^və B

4 2 4 2 4
asılı olmayan hadisələrdir.
^{Məsələ 2. Bir zər atılmışdr.Aşağıdakı hadisələrə baxaq: a)} A ^{-düşən xalın üçə bölünməsi; b) düşən xalın cüt ədəd olması.} A ^və B ^{hadisələrinin asılı} olmadıqlarını göstərin.
Həlli. Məsələnin şərtinə əsasən A  ^₃ ,₆ ^ ^3,6^; B  ^₂ ,₄ ,₆ ^ ^2,4,6^;
AB  ₆  6
1

PB  ³  ¹ ; PAB  ¹ Şərti ehtimalın düsturuna görə
P^A / B^  ^PAB  ⁶  ¹

6 2 6
^{PB 1} 3
2

P^A^  ²  ^{1 . Deməli, PA / B  PA.Bu isə} A ^və B ^{hadisələrinin asılı}
6 3
olmadıqlarını göstərir.
Məsələ 3. Müstəviyə birinci üzü qırmızı, ikinci üzü yaşıl, üçüncü üzü mavi və dördüncü üzü hər üc rənglə rənglənmiş tetraedr atılır. Tetraedrin müstəviyə atılışında qırmızı üzünün düşməsi hadisəsini Q ilə, yaşıl üzünün düşməsini Y ilə və mavi üzünün düşməsini M ilə işarə edək.
Hər bir üz iki rənglə rəgləndiyi üçün
^{PQ  PY   PM }= ²  ¹
4 2
olar.


PQY   PQM   PYM   ¹
4

Beləliklə, Q,Y və M hadisələri cüt-cüt asılı olmayan hadisələrdir. Ancaq bu hadisələr qarşılıqlı asılı hadisələrdir.

Belə ki,
PQYM   ¹  PQPY PM   ¹

4 8

Bir neçə hadisənin asılı olmamsı

A₁, A₂ ,..., A_n hadisələrindən istənilən ikisi asılı olmadıqda onlara cüt-cüt asılı
olmayan hadisələr deyilir.

PA A  PA PA ,i 
j;i, j  1,2,..., n

i j i j

A₁, A₂ ,..., A_n hadisələri üçün
1  i  j  k  ... n
indekslərinin bütün mümkün

kombinasiyaları üçün 2ⁿ  n 1sayda

i₁
PA



i

i
A ... A
2 k
 PA
PA
...PA
^, 1  i
 i₂
 ...i_k , k  2,3,..., n , yəni

i₁

i₂

i_k

1
PA A  PA PA ,i 
j;i, j  1,2,..., n

i j i j
PA A  PA PA ;
i j i j
PA A A  PA PA PA 
i j k i j k
........ ........ ........ ........ .........
PA₁ A₂...A_n   PA₁ PA₂ ...PA_k 
bərabərlikləri ödənildikdə qarşılıqlı ( birgə) asılı olmayan hadisələr adlanır.
Qeyd edək ki, cüt-cüt asılı olmayan hadisələr qarşılıqlı asılı ola bilər. Bu mənada hadisələrin qarşılıqlı asılı olmaması anlayşı cüt-cüt asılı olmamaq

anlayışından daha güclüdür.Məsələn,
hadisələr fəzasında
  ₁,₂ ,₃ ,₄ 
eyniehtimallı elementar

A  ₁ ,₂ , B  ₁ ,₃ , C  ₁ ,₄ 
hadisələri buna misal ola bilər.Doğrudan da,
PA  PB  PC  ¹
2
PAB  PAC  PBC  ¹
4
bərabərlikləri A, B və C hadisələrinin cüt-cüt asılı olmadığını,

PABC  P   ¹  ¹  PAPBPC

¹ 4 8
bərabərliyi isə onların qarşılıqlı asılı olduğunu göstərir.
Hadisələrin asılı olmaması haqqında aşağıdakı təklifləri söyləmək olar:
1) n sayda hadisələrin asılı olmaması, bu hadisələrdən istənilən saydasını onların tamamlayıcı hadisələri ilə əvəz etdikdə dəyişmir.

2) A₁ ,..., A_n
asılı olmayan hadisələr olarsa, onlardan götürülən ixtiyari r r  n

sayda
A_i ,..., A_i
hadisələri də asılı olmayacaqdır.

1

r
3) Asılı olmayan
A₁ ,..., A_n
hadisələrindən heç olmasa birinin baş vermə ehtimalı

 ⁿ 

P_∪ A_i   1 1 PA₁ ...1 PA_n 
 1 
kimi hesablanılır.

Ardıcıl təkrar sınaqlar

1. 
   Bernulli düsturu və Bernulli teoremi.
   
2. 
   Binomial paylanma üçün asimptotik düsturlar.
   
3. 
   Muavr - Lapalasın inteqral teoreminin tətbiqləri
   

Sual 12: Bernulli düsturu və Bernulli teoremi

Tutaq ki, müəyyən şərtlər kompleksi daxilində ardıcıl sınaqlar aparılır.Əgər hər bir sınağın nəticəsi digər sınağın nəticəsinə təsir etmirsə, onda belə sınaqlara asılı olmayan sınaqlar deyilir. Aparılan asılı olmayan hər sınağın nəticəsi “uğurlu” və ya “uğursuz” ola bilər, yəni gözlənilən təsadüfiü A hadisəsi baş verə, yaxud baş verməyə bilər.Asılı olmayan sınağın iki nəticəsindən birinin baş verməsi halına Y.Bernulli baxmışdır və onu Bernulli sxemi adlandırırlar. Tərif. Eyni bir sınağın təkrarından ibarət sınaqlar aşağıdakı iki şərti ödədikdə, Bernulli sınaqları adlanır:

1. 
   sınaqlar asılı olmayandırlar;
   
2. 
   hər bir sınağın yalnız iki nəticəsi vardır və bu nəticələrin ehtimalı bütün sınaqlar üçün eynidir;
   
3. 
   Bernulli sınağının nəticələrindən birini şərti olaraq “+”, digərini isə “-“adlandıraq.
   

Tutaq ki, n sayda asılı olmayan sınaq aparılır və hər bir sınaqda A hadisəsinin baş verməsi ehtimalı sabit p ədədinə, baş verməməsi ehtimalı isə

q=1-p ədədinə bərabərdir.i-ci sınağın nəticəsini
B_i , i  1,2,..., n
ilə işarə edək.Bu

ardıcıllığın m hissəsində A hadisəsi, qalan n-m hissəsində isə A olarsa, belə



C

n
ardcıllıqların sayı ^m olar. Sınaqlar asılı olmadıqlarından onların nəticələri –

hadisələr də asılı deyillər və ehtimalların vurulması qaydasına görə belə

ardıcıllığın ehtimalı p^m q^nm ədədinə bərabər olar.Onda uyuşmayan (birgə

olmayan) hadisələrin ehtimalları haqqında qaydaya görə m-qədər A-dan və n-

m qədər A -dən ibarət ardıcıllıqların ehtimalları cəmi
p m  C^m p^m q^nm
olar.

n

n
Aparılan n Bernulli sınağında “+” nəticənin baş vermə sayını edək.Beləliklə aşağıdakı nəticəyə gəlirik:
s_n ilə işarə