Ehtimollar nazariyasi matematikaning klassik tarmoqlaridan biridir. Bu uzoq tarixga EGA. Fanning bu sohasiga asos solgan buyuk matematiklar. Men, masalan, Fermat, Bernoulli, Paskalni nomlayman

4. Puasson qonuni
Amaliy qiziqish uyg'otadigan binomial taqsimotning ikkinchi chegarasi, sinovlar sonining cheksiz ko'payishi bilan matematik kutish doimiy bo'lib qoladigan holatga tegishli:
Agar uchun bo'lsa , qarama-qarshi hodisaga o'tsak, biz bir xil holatni olamiz. m << n deb faraz qilsak , uchun olamiz




Demak,

Tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti Puasson qonuni deb ataladi.
Puasson taqsimoti maksimal yaqinlikka ega (
[x] belgisi x sonining butun qismini bildiradi , x dan kichik yoki teng ).
Tarqatishning raqamli xarakteristikalari:
Kutishning
o'zgarishi
Puasson taqsimoti fizika, aloqa nazariyasi, ishonchlilik nazariyasi, navbat nazariyasi va boshqalardagi "kamdan-kam uchraydigan" hodisalarni tavsiflashda muhim rol o'ynaydi. - ma'lum bir vaqt oralig'ida tasodifiy miqdordagi hodisalar (radioaktiv parchalanish, telefon qo'ng'iroqlari, uskunaning ishdan chiqishi, baxtsiz hodisalar va boshqalar) sodir bo'lishi mumkin bo'lgan joylarda.


5.Oddiy taqsimot
Oddiy taqsimot statistikada taqsimlanishning eng muhim turi hisoblanadi.
Xarakteristikaning qiymatlari odatda bir-biri bilan deyarli o'zaro bog'liq bo'lmagan ko'plab turli sabablar ta'siri ostida taqsimlanadi va ularning har birining ta'siri boshqa barcha omillarning ta'siriga nisbatan nisbatan kichikdir.
Oddiy taqsimot bir hil populyatsiya birliklari orasidagi atribut qiymatlarining o'zgarishini aks ettiradi. Shunga o'xshash taqsimot asosan tabiiy fanlar bo'yicha testlarda (bo'yi, vaznini o'lchash) kuzatiladi.
Ijtimoiy-iqtisodiy hodisalarda normal taqsimlangan ma'lumotlar kam uchraydi. Bu erda har doim o'rganilayotgan xususiyat darajasiga sezilarli ta'sir ko'rsatadigan sabablar mavjud (boshqaruv ta'sirining natijasi).
Biroq, dastlabki ma'lumotlarning normal taqsimlanishi gipotezasi tanlov usuli va boshqa ko'plab statistik usullarning munosabatlarini tahlil qilish metodologiyasi asosida yotadi.
Etarlicha ko'p miqdordagi testlar bilan normal egri chiziq ko'p turdagi taqsimotlarga moyil bo'lgan chegara bo'lib xizmat qiladi, shu jumladan binomial va gipergeometrik.
(3) ko'rinishga ega bo'lsa, u normal taqsimlangan yoki Gauss taqsimot qonuniga bo'ysunadi deyiladi.
bu yerda a har qanday haqiqiy son va >0 . a parametrlarining ma'nosi keyinroq aniqlanadi. Tarqatish zichligi va tarqatish funktsiyasi o'rtasidagi munosabatlarga asoslanib , biz bor
Funktsiya grafigi x=a to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetrikdir. Oddiy tadqiqot shuni ko'rsatadiki, funksiya x=a da maksimal darajaga etadi va uning grafigi va da burilish nuqtalariga ega . Funktsiya grafigi Ox o'qiga asimptotik yaqinlashganda . Ko'rsatish mumkinki, zichlik ortishi bilan taqsimlanish zichligi egri chizig'i tekislanadi. Aksincha, kamayganda, taqsimot zichligi grafigi simmetriya o'qiga qarab qisqaradi. a=0 bo'lganda , simmetriya o'qi Oy o'qi bo'ladi . Shaklda. 3-rasmda y = funksiyaning ikkita grafigi keltirilgan . Grafik I a =0 qiymatlariga mos keladi , =1 va II grafik - a =0, =1/2 qiymatlari.

shartni qanoatlantirishini ko'rsataylik , ya'ni. har qanday a uchun va munosabat o'rinli

Haqiqatan ham, keling, ushbu integralda o'zgaruvchiga o'zgartirish kiritamiz, . Keyin

Integratsiya funksiyasining pariteti tufayli bizda mavjud

Demak,

Lekin,

Natijada biz olamiz
(4)
Keling, ehtimollikni topamiz . Bizda mavjud bo'lgan formulaga ko'ra

Keling, bu integralda o'zgaruvchini yana o'zgartiraylik

Keyin , va
(5)
Ma’lumki, elementar funksiyalarda integral olinmaydi. Shuning uchun aniq integralni (5) hisoblash uchun ehtimollik integrali deb ataladigan (6) funksiya kiritiladi.
Ushbu funktsiya uchun turli xil argument qiymatlari uchun uning qiymatlari jadvallari tuzilgan (Ilovadagi II-jadvalga qarang). Formuladan foydalanib (6) olamiz


Shunday qilib,
(7)
F(x) funksiyasi (ehtimollik integrali) quyidagi xossalarga ega ekanligini ko`rsatish oson .
1°.
2°. ; qiymatida deyarli 1/2 ga teng (II-jadvalga qarang) .
3°. =- ya'ni. ehtimollik integrali toq funksiyadir.

Funktsiya grafigi rasmda ko'rsatilgan. 4.

Shunday qilib, agar tasodifiy miqdor a va parametrlari bilan normal taqsimlangan bo'lsa , u holda tasodifiy miqdorning tengsizliklarni qondirish ehtimoli (7) munosabat bilan aniqlanadi.
Mayli . Oddiy taqsimlangan tasodifiy miqdorning a parametridan mutlaq qiymatda dan ko‘p bo‘lmagan chetga chiqish ehtimoli topilsin , ya’ni. .
tengsizliklarga ekvivalent bo'lganligi sababli , (7) nisbatni qo'yib, biz olamiz
Ehtimollar integrali toq funksiya bo'lganligi sababli, bizda (8)
1-misol. Tasodifiy miqdor a=0, =2 parametrli normal ehtimollik taqsimot qonuniga bo‘ysunsin .
Belgilang:
1) ;
2) ;
Yechim:
1) (7) formuladan foydalanib, biz bor
Stoldan II F(1)=0,34134 , F(1,5)=0,43319 ekanligini topamiz . Shuning uchun 3
2) a=0 bo'lgani uchun . (8) formuladan foydalanib topamiz

2-misol. Oddiy taqsimot qonuniga bo'ysunuvchi tasodifiy o'zgaruvchi qanday chegaralar ichida o'zgarishi kerak
)=0,9973
Yechish: (8) formulaga muvofiq bizda mavjud
Demak, . Stoldan II bu qiymat =3 ga to'g'ri kelishini topamiz , bu erdan .
Oxirgi misoldan kelib chiqadiki, agar tasodifiy o'zgaruvchi normal taqsimot qonuniga bo'ysunsa, biz tasodifiy o'zgaruvchining oraliqda ekanligini 0,9973 ga teng ehtimollik bilan tasdiqlashimiz mumkin . Bu ehtimollik birlikka yaqin bo'lganligi sababli, biz normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari amalda oraliq chegarasidan tashqariga chiqmaydi deb taxmin qilishimiz mumkin.Bu haqiqat uch sigma qoidasi deb ataladi.