Ehtimollarnazariyasining limit teoremalari. Kata sonlar qonuni. Chebishov tengsizligi. Bir XIL taqsimlangan o`zaro bog`liqsiz tasodifiy miqdorlar yig`indisi uchun markaziy limit teoremasi

2-xossa. Mumkin bo’lgan hodisaning ehtimoli nolga teng, bu holda m=0 va P(∅)=m/n=0/n=0

3-xossa.Tasodifiy hodisaning ehtimoli nol va bir orasida yotuvchi sondir. 0

Shunday qilib, istalgan hodisaning ehtimoli quyidagi munosabatni qanoatlantiradi.

0≤R(A)≤1

Ehtimolning yuqorida keltirilgan klassik ta’rifi cheklangan bo’lib, hamma masalalarga ham qo’llanilavermaydi. Masalan elementar natijalari soni cheksiz yoki elementar natijalari teng imkoniyatli bo’lmagan tajribalarda klassik ta’rifni qo’llab bo’lmaydi.

Shu sababli klassik ta’rif bilan bir qatorda hodisaning ehtimoli sifatida nisbiy chastota yoki unga yaqinroq sonni olib, statistik ta’rifdan ham foydalaniladi.

Statistik ta’rif nisbiy chastotaning turg’unlik xossasiga asoslanadi.Bu xossa shundan iboratki, ko’p sondagi tajribalar seriyasi uchun A hodisaning n ta tajribada ro’y berishlari nisbiy chastatasi deb ataluvchi W(A)=ν/n

nisbat deyarli o’zgarmas miqdor bo’lib qolaveradi. Bu yerda ν-A hodisaning n ta tajribada ro’y berishlari soni. Nisbiy chastotaning turg’unlik xossasi birinchi bor demografik xarakterdagi hodisalarda ochilgan. Bizning eramizdan 2000 yillar burin Xitoyda o’g’il bolalar tug’ulishlar sonining jami tug’ulgan bolalar soniga nisbati deyarli ½ ga teng ekanligi hisoblangan. Bu sonning barch davrlar uchun o’zgarmay qolishini statistik malumotlar tasdiqlaydi.

Nisbiy chastotaning turg’unlik xossasiga yana bir misol sifatida tanga tashlash tajribasini ko’ramiz.tanga tashlash tajribalari ko’p marta o’tkazilib, ularda “gerb” tomoni tushushi sanalgan. Bir nechta tajribalarning natijalari quyidagicha bo’lgan.

Tanga tashlashlar soni	Gerbli tomon tushishi	Nisbiy chastota
4.040	2.048	0,5069
12.000	6.019	0,5016
24.000	12.012	0,5005

Bu tajribalarda W(A) nisbiy chastota o’zgarmas r=0,5 soni atrofida tebranyabti shu 0,5 son tanga tashlashda “gerb” tomon tushushi hodisaning ehtimoli sifatida olinishi tabiiydir.

Umaman, agar tajribalar soni yetarlicha ko’p bo’lib, shu tajribalarda qaralayotgan A hodisaning ro’y berishi nisbiy chastatasi W(A)-biror o’zgarmas rЄ[0,1] son atrofida turg’un raivishda tebransa, shu R soni A hodisaning ro’y berish ehtimoli deb qabul qilamiz. Bunday usulda aniqlangan ehtimol hodisaning statistic ehtimoli deyiladi.

Ba’zan geometrik mulohazalarga asoslangan masalalarda ehtimolning geometrik tarifi qo’llaniladi. Ushbu ta’rifni bayon qilishga o’tamiz.

Biror G soha berilgan bo’lib, bu soha g sohani o’z ichiga olsin. G sohaga tavakkaliga tashlangan nuqtaning g sohaga ham tushush ehtimolini toppish talab etilsin. Bu yerda Ω elementar hodisalar fazosi G ning barcha nuqtalaridan iborat va cheksizdir. Shuning uchun, bu holda klassik tarifdan foydalana olmaymiz. Tashlangan nuqta G ga tushush ehtimoli shu g qismning o’lchoviga (uzunligiga, yuziga, hajmiga) proporsional bo’lib, g ning shakliga va g ni G sohaning qayerida joylashganligiga bog’liq bo’lmasin. Bu shartlarda qaralayotgan hodisaning ehtimoli

R= G ning o’lchovi

_{G ning o’lchovi}

formula yordamida aniqlanadi. Bu formula yordamida aniqlangan R ehtimollik ehtimolning barcha xossalarini qanoatlantiradi.

Misol. Radiusi R bo’lgan doira ichiga tavakkaliga nuqta tashlaangan. Tashlangan nuqta doira ichki chizilgan;

1. 
   Kvadrat ichiga:
   
2. 
   Muntazam uchburchak ichiga tushushi ehtimolini toping. Nuqtaning yassi figuraga tushushi ehtimoli bu figuraning yuziga proportsional bo’lib, uning joylashishiga esa bog’liq emas deb faraz qilinadi.
   

Yechilishi.

1. 
   Geometrik ehtimollar ta’rifiga ko’ra izlanayotgan ehtimollik
   

Kvadratning yuzi 2R² 2

P= Doiraning yuzi = πR² = π

Bu holda, muntazam uchburchak yuzi 3 R²

4

Ekanligini hisobga olsak:

P=uchburchakning yuzi = 3 R² = 3

Doiraning yuzi 4πR² 4π

Ehtimollar nazariyasi fani - matematik fan bo’lib, uning predmeti bir xil shart- sharpitlarda ko’p marta takrorlanuvchi tasodifiy hodisalarning ehtimoliy qonuniyatlarini o’rganishdan iborat.

Tasodifiy hodisalar bo’ysunadigan qonuniyatlarni bilish, shu hodisalarning qanday kechishini avvaldan ko’ra bilish imkonini beradi .

Ehtimollar nazariyasi fanining metodlari hozirgi davrda amaliyotning turli sohalarida, jumladan , iqtisodiyot sohasida ham keng samarali qo’llanilmoqda.

Tasodifiy bilan bog’liq bo’lgan iqtisodiy jarayonlarni tadbiq etishda bu jarayonlarning kechishini bashorat qilishda, hamda iqtisodiy yechimlar qabul qilishda ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fanining ahamiyati kattadir.

Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fani usullari makro va mikro iqtisodiyotni rejalashtirish va tahlil etishda, turli tehnologik jarayonlarni tahlil etishda, mahsulot sifatini nazorat qilishda, ommaviy xizmat ko’rsatish nazariyasida va boshqa ko’plab sohalarda o’z tadbiqlarini topmoqda.