Elmi ƏSƏRLƏr fiZİka-riyaziyyat və texniKA



Yüklə 2.31 Mb.

səhifə1/16
tarix07.04.2017
ölçüsü2.31 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16

-

 

3 - 



 

 

 



  NAXÇIVAN  DÖVLƏT  UNİVERSİTETİ-196 7  

    İSSN 2222-940X 

ELMİ ƏSƏRLƏR 

 

FİZİKA-RİYAZİYYAT VƏ TEXNİKA  



ELMLƏRİ SERİYASI 

 

             SERIES OF PHYSİCAL, MATHEMATİCAL  AND 



 TECHNİCAL  SCIENCES 

 

 

СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ  И 

ТЕХНИЧЕСКИХ  НАУК 

 

№ 4(69) 

NAXÇIVAN,  NDU, “QEYRƏT”-2015 

НАУЧНЫЕ ТРУДЫ 

SCIENTIFIC  WORKS 

-

 

4 - 



 

NAXÇIVAN DÖVLƏT  UNİVERSİT ET İ.  ELMİ ƏSƏRLƏR,  2015,  № 9 (65) 



 

NAKHCHIVAN ST AT E UNIVERSIT Y

.

  SC IENTIFIC  WO RKS,  2015,  № 9 (65) 

 

НАХЧЫВАНСКИЙ  ГОСУДАРСТ ВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТ ЕТ .  НАУЧНЫЕ  ТРУДЫ,  2015,  № 9 (65) 



 

RİYAZİYYAT 

ТОФИГ  НАДЖАФОВ  

 

 

 

 

 

     Нахчыванский Государственный Университет 

 

 

 

 

 

 

tofiq –necefov @mail.ru 

 

 

 

 

 

 

    МИРАН АЛЕСКЕРОВ 

 

 

 

 

 

   Институт Математики и Механини Национальный 

 

 

 

 

 

 

 

Академии Наук Азербайджана 

УДК:510 

 

ОБ ОДНОЙ  ЗАДАЧЕ  РИМАНА  В ОБОБЩЕННЫХ  КЛАССАХ  ХАРДИ   

 

 

Keywords:  задача Римана, переменный показатель, класс Харди 

 

1.

 

Введение  

При  решении  многих  уравнений  смешанного  типа  методом  Фурье    возникают  системы 

косинусов и синусов следующего  вида  

 

 



 

 







Z

n

t

n

cos



,   

 

 



 

 

  (1) 







N

n

t

n



sin


,          

 

 



 

       (2) 

где   





R

действительный  параметр  (





N

натуральные  числа, 

 

N

Z



0

).  При 



обосновании  решения  следует  изучать  базисные  свойства  подобных  систем  в  надлежащих 

пространствах  функций.  Более  подробно  относительно  касающихся  вопросов  можно 

рассмотреть  напр.,  работы [1-4]. Базисные свойства систем (1), (2) в лебеговых и соболевых 

пространствах функций ( в том числе и в весовых пространствах) хорошо изучены в работах 

[5-12]. Следует отметить, что в последнее время в связи с приложением интерес к изучению 

различных  вопросов  в  пространствах  Лебега  и  Соболева  с  переменным  показателем 

суммируемости  возрос.  Этому  направлению  посвящены  многочисленные  работы. 

Подробную информацию об этих вопросах можно получить из монографии [13].   

 

Будем  рассматривать систему вида  



 

 

 



 

 

 



 

N

n

e

t

B

e

t

A



,

int



int

 



 

 

     (3) 



где 

   


 





C



B

A

,



0

:

;



некоторые  комплекснозначные  функции.  Ясно,  что  система  (3) 

обобщает  системы  (1)  и  (2).  При  изучении  базисных  свойств  систем  вида  (3)  в  лебеговых 

пространствах задачи Римана теории аналитических функций играют исключительную роль. 

В  настоящей  работе  рассматривается  специальная  однородная  краевая  задача  Римана, 

коэффициент  которой  имеет  бесконечное  число  разрывов.  При  определенных  условиях  на 

коэффициент  задачи  доказывается  нетеровость  этой  задачи  и  строится  общее  решение  в 

классах  Харди  с  переменным  показателем  суммируемости.  Следует  отметить,  что  частные 

случаи этой задачи ранее были рассмотрены в работах [14;15].   



2.

 

Необходимые сведения 

Примем  следующие  стандартные  обозначения.

 



Z



целые  числа; 



R

действительные 

числа; 




C

комплексная  плоскость;

 





)

(

  комплексное сопряжение; 





nk

символ Кронекера;



 

 




A

характеристическая  функция  множества 



.

A

 

Пусть 



 






,



1

,

:





p

некоторая  измеримая  по  Лебегу  функция.  Класс  всех 

измеримых на 





,



 (относительно лебеговой меры) функций обозначим через 

0

L . Примем 



обозначение   

-

 

5 - 



 

                                     

 

 


 

.

dt



t

f

f

I

t

p

def

p





 

Пусть   


                                      

 


.



:

0







f

I

f

p

L

L



 

Относительно  обычных линейных операций сложение функций и умножение на число, при 



 









t



p

vrai

p



,

sup


L

 превращается в линейное пространство. Относительно нормы        



                                               

 












1

:



0

inf




f



I

f

p

def

p

,                                              

L

 является банаховым и его обозначим через  



)

(



p

L

. Положим 





   

.

ln



2

1

:



,

,

,



0

);

(



)

(

:



2

1

2



1

2

1



2

1



















t

t

C

t

p

t

p

t

t

t

t

C

p

p

p

WL

def



 



      Везде 

 




q

  обозначает  сопряженную  к 

 



p



  функцию: 

   


1

1

1





t



q

t

p

.  Примем 



 



t

p

vrai

p



,

inf






 

t

p

vrai

p



,

sup




. Имеет место обобщенное неравенство Гельдера 

                                          

   





 

 








q

p

g

f

p

p

c

dt

t

g

t

f



;

где 









p

p

p

p

c

1

1



1

;

.  Непосредственно  из  определения  следует  следующее  свойство, 



которым будем пользоваться. 

         При  получении основных результатов важную роль играет следующий  факт. 



Свойство А 



13



. Если 

 










p

p

p

1

:



, то класс 



,



0



C

 (финитные и 

.           (14) 

Из  Леммы  3  следует,  что  бесконечное  произведение 



k

k

k

t

t

принадлежит   



 



p



L

если 







k

k

и выполнены неравенства 



 

k

t

p

k

k



,

1



. А теперь  обратим внимание 

к  выражению  (14).  По  результатам  монографии  [18]  имеет  место  соотношение 



 





1



0

,

sup



t

u

vrai



.  Тогда  из    Свойство  А    и        Леммы  3  бесконечно  дифференцируемые)  

всюду плотный в 

 




p

L

.  

Обозначим через   сингулярный интеграл 

                                                 

 






t

d

t

f

i

Sf

,

2



1





где 

C



 некоторая кусочно-гельдерева  кривая на  . Определим весовой класс 

                                                   

   





,

p



L

:

   



 







p



def

p

L

f

f

L



:

,

,   



с  нормой 

   


 





p



def

p

f

f



,

.  В  работе 

17



  установлена  справедливость  следующего 

утверждения. 



Утверждение  2 



16



.    Пусть 





p

WL

p

1

,



.  Тогда  сингулярный  оператор  S 

ограниченно действует из 

   




,

p

L

 в 

   




,

p

L

 только тогда, когда выполнены 

-

 

6 - 



 

                                                  

 


 

m

k

q

p

k

k

k

,

0



,

1

1







;                                 (4) 



где весовая функция  

 




 определена выражением  

 







m



k

k

k

t

t

t

0





 


  


R

t

m

k

m

k



0

0



,

,





Через 



0



p

H   обозначаем  обычный  класс  Харди,  где 





,



1

0

p



  некоторое  число. 

Положим 


)



(

:

),



(

1

),



(











p

p

L

f

H

f

H

,  где 


1



:





z

C

z

  и 





f

некасательные 

граничные значения 



f

 на 


. В работе [17] доказана следующая 



Теорема  1.    Пусть 

1

,





p

WL

p

,  и    выполнены  неравенства  (4).  Тогда  если 



),



(

p

H

F

,то 

),



(





p

L

f

:            



                                               

,

)



(

)

(



2

1

)



(







dt

t

f

t

K

z

F

z

                                   

       (5)            

где   





it



z

ze

t

K

1

1



)

(

ядро  Пуассона.  Наоборот,  если 

),

(





p



L

f

,  то  функция 

F



определенная выражением (5), принадлежит классу 



),

(



p

H

Следуя  классическому  случаю  нетрудно  определяется  весовой  класс  Харди   





),

(

p



m

H

 

аналитических в 



)

(

\









C

 функций, имеющих порядок  



m

m

0



 на бесконечности. 

Пусть 


 

z

f

  аналитическая  на 

\

C



  функция,  имеющая  конечный  порядок 

m

m

0



  на 

бесконечности, т. е. 



                                            

)

(



)

(

)



(

2

1



z

f

z

f

z

f



где   


)

(

1



z

f

  полином  степени 



m

m

0



  (

0

)



(

1



z

f

  при   

0

0





m

), 


)

(

2



z

f

  правильная  часть 

разложения 

)

(z



f

 в ряд Лорана в бесконечно  удаленной точке. Если функция  







z



f

z

1

)



(

2



 

принадлежит  классу 





),

(

p



H

  ,  то  будем  говорить,  что  функция 

 

z

f

  принадлежит  классу  





),

(

p



m

H

 . 


Совершенно  аналогично  классическому  случаю  доказывается  справедливость 

следующей  теоремы. 



Теорема 2. Пусть 

,

1



,





p

WL

p

и выполнены неравенства (4). Если 



),



(

p

H

f

, то 

                                              

,

0



1

,

0



)

(

)



(

),

(







r

e

f

re

f

p

it

it



                                                                                                          



где 



f

некасательные граничные значения 

f

 на 



.  

Так  же справедлива следующая   



 Теорема  3.  Пусть 

,

1



,





p

WL

p

 и имеют место неравенства (4). Если 



),



(

p

m

H

f



то   

 

,



0

1

,



0

)

(



)

(

),



(







r

e

f

re

f

p

it

it

          



где 



f

некасательные граничные значения 

f

 на 



 извне 



Покажем  справедливость  аналога  классической  теоремы  Смирнова.  Предположим, 

что   


1

,





p



WL

p

,  и  выполняются  неравенства  (4).  Пусть 



1



H

u

и 



),

(





p



L

u

,  где  




u

– 

некасательные граничные значения   на 



. Тогда известно, что 



:

)

(



1





L



f

 


-

 

7 - 



 

                                                         

.

)

(



2

1

)



(





d

z

f

i

z

u



 



Следовательно, 

),

(



)

(





i

i

e

f

re

u

  п.в.  на 



)

,

(





  при 

.

0



1



r

  Отсюда  непосредственно 

следует, что 

.

),



(





p

L

f

 Тогда из Теоремы 1 получаем 





),

(



p

H

u

. Итак, справедлива 



Теорема  4.  Пусть   

1

,





p

WL

p

,  и  выполнены  неравенства  (4).  Если 



1

H

u

и 

),



(





p

L

u

 , то 



),



(

p

H

u

Рассмотрим следующую  задачу Римана в классах 

:

),

(



),

(







p

m

p

H

H

  

                                    



,

),

(



)

(

)



(

)

(











f

F

G

F

                                   (6) 

где 





),



(

p

L

f

некоторая  функция.  Под  решением  задачи  (6)  понимается  пара 

аналитических функций 







),



(

),

(



))

(

);



(

(

p



m

p

H

H

z

F

z

F

, граничные значения которых  п.в. на 



 удовлетворяют  равенство (6).   





  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2019
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə