Elmi ƏSƏRLƏr fiZİka-riyaziyyat və texniKA
Yüklə 2,31 Mb. Pdf görüntüsü
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- ELMLƏRİ SERİYASI
- NAXÇIVAN, NDU, “QEYRƏT”-2015 НАУЧНЫЕ ТРУДЫ SCIENTIFIC WORKS
- ELMİ ƏSƏRLƏR, 2015, № 9 (65)
- НАУЧНЫЕ ТРУДЫ, 2015, № 9 (65) RİYAZİYYAT ТОФИГ НАДЖАФОВ
- УДК:510 ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ РИМАНА В ОБОБЩЕННЫХ КЛАССАХ ХАРДИ Keywords
- Свойство А
- Утверждение 2
|
-
3 -
NAXÇIVAN DÖVLƏT UNİVERSİTETİ-196 7 İSSN 2222-940X ELMİ ƏSƏRLƏR
ELMLƏRİ SERİYASI
TECHNİCAL SCIENCES СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ И ТЕХНИЧЕСКИХ НАУК № 4(69) NAXÇIVAN, NDU, “QEYRƏT”-2015 НАУЧНЫЕ ТРУДЫ SCIENTIFIC WORKS -
4 - NAXÇIVAN DÖVLƏT UNİVERSİT ET İ. ELMİ ƏSƏRLƏR, 2015, № 9 (65) NAKHCHIVAN ST AT E UNIVERSIT Y .
НАХЧЫВАНСКИЙ ГОСУДАРСТ ВЕННЫЙ УНИВЕРСИТ ЕТ . НАУЧНЫЕ ТРУДЫ, 2015, № 9 (65) RİYAZİYYAT ТОФИГ НАДЖАФОВ Нахчыванский Государственный Университет tofiq –necefov @mail.ru МИРАН АЛЕСКЕРОВ Институт Математики и Механини Национальный Академии Наук Азербайджана УДК:510 ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ РИМАНА В ОБОБЩЕННЫХ КЛАССАХ ХАРДИ Keywords: задача Римана, переменный показатель, класс Харди 1. Введение При решении многих уравнений смешанного типа методом Фурье возникают системы косинусов и синусов следующего вида
Z n t n cos ,
(1) N n t n sin
,
(2) где
R действительный параметр ( N натуральные числа,
0 ). При обосновании решения следует изучать базисные свойства подобных систем в надлежащих пространствах функций. Более подробно относительно касающихся вопросов можно рассмотреть напр., работы [1-4]. Базисные свойства систем (1), (2) в лебеговых и соболевых пространствах функций ( в том числе и в весовых пространствах) хорошо изучены в работах [5-12]. Следует отметить, что в последнее время в связи с приложением интерес к изучению различных вопросов в пространствах Лебега и Соболева с переменным показателем суммируемости возрос. Этому направлению посвящены многочисленные работы. Подробную информацию об этих вопросах можно получить из монографии [13].
Будем рассматривать систему вида
N n e t B e t A , int int ,
(3) где
B A , 0 : ; некоторые комплекснозначные функции. Ясно, что система (3) обобщает системы (1) и (2). При изучении базисных свойств систем вида (3) в лебеговых пространствах задачи Римана теории аналитических функций играют исключительную роль. В настоящей работе рассматривается специальная однородная краевая задача Римана, коэффициент которой имеет бесконечное число разрывов. При определенных условиях на коэффициент задачи доказывается нетеровость этой задачи и строится общее решение в классах Харди с переменным показателем суммируемости. Следует отметить, что частные случаи этой задачи ранее были рассмотрены в работах [14;15]. 2. Необходимые сведения Примем следующие стандартные обозначения.
целые числа;
действительные числа;
C комплексная плоскость;
) ( комплексное сопряжение; nk символ Кронекера;
характеристическая функция множества . A
Пусть
, 1 , :
некоторая измеримая по Лебегу функция. Класс всех измеримых на
, (относительно лебеговой меры) функций обозначим через 0 L . Примем обозначение -
5 -
.
t f f I t p def p Пусть
. : 0 f I f p L L Относительно обычных линейных операций сложение функций и умножение на число, при
p vrai p , sup
, L превращается в линейное пространство. Относительно нормы
1 : 0 inf
I f p def p , L является банаховым и его обозначим через ) ( p L . Положим
. ln 2 1 : , , , 0 ); ( ) ( : 2 1 2 1 2 1 2 1 t t C t p t p t t t t C p p p WL def
Везде
q обозначает сопряженную к
функцию:
1 1 1
q t p . Примем
t p vrai p , inf
, t p vrai p , sup
. Имеет место обобщенное неравенство Гельдера
q p g f p p c dt t g t f ; , где p p p p c 1 1 1 ; . Непосредственно из определения следует следующее свойство, которым будем пользоваться. При получении основных результатов важную роль играет следующий факт. Свойство А
p p p 1 : , то класс , 0 C (финитные и . (14) Из Леммы 3 следует, что бесконечное произведение k k k t t принадлежит
L , если k k и выполнены неравенства k t p k k , 1 . А теперь обратим внимание к выражению (14). По результатам монографии [18] имеет место соотношение 1 0 , sup t u vrai . Тогда из Свойство А и Леммы 3 бесконечно дифференцируемые) всюду плотный в
p L . Обозначим через S сингулярный интеграл
t d t f i Sf , 2 1 , где C некоторая кусочно-гельдерева кривая на C . Определим весовой класс
,
L :
def p L f f L : , , с нормой
def p f f , . В работе 17
установлена справедливость следующего утверждения. Утверждение 2
p WL p 1 , . Тогда сингулярный оператор S ограниченно действует из
, p L в
, p L только тогда, когда выполнены -
6 -
m k q p k k k , 0 , 1 1 ; (4) где весовая функция
k k k t t t 0 ,
R t m k m k 0 0 , ,
Через
p H обозначаем обычный класс Харди, где , 1 0
некоторое число. Положим
) ( : ), ( 1 ), ( p p L f H f H , где
1 : z C z и
некасательные граничные значения f на
. В работе [17] доказана следующая Теорема 1. Пусть 1 , p WL p , и выполнены неравенства (4). Тогда если ), ( p H F ,то ), ( p L f : , ) ( ) ( 2 1 ) ( dt t f t K z F z (5) где
z ze t K 1 1 ) (
),
L f , то функция F , определенная выражением (5), принадлежит классу ), ( p H . Следуя классическому случаю нетрудно определяется весовой класс Харди
), (
m H
аналитических в ) ( \ C функций, имеющих порядок m m 0 на бесконечности. Пусть
z f аналитическая на \
функция, имеющая конечный порядок m m 0 на бесконечности, т. е. ) ( ) ( ) ( 2 1 z f z f z f , где
) ( 1 z f полином степени m m 0 ( 0 ) ( 1 z f при 0 0 m ),
) ( 2 z f правильная часть разложения ) (z f в ряд Лорана в бесконечно удаленной точке. Если функция
f z 1 ) ( 2 принадлежит классу
), (
H , то будем говорить, что функция
принадлежит классу
), (
m H .
Совершенно аналогично классическому случаю доказывается справедливость следующей теоремы. Теорема 2. Пусть , 1 , p WL p и выполнены неравенства (4). Если ), ( p H f , то , 0 1 , 0 ) ( ) ( ), ( r e f re f p it it
где f некасательные граничные значения f на . Так же справедлива следующая Теорема 3. Пусть , 1 , p WL p и имеют место неравенства (4). Если ), ( p m H f , то
, 0 1 , 0 ) ( ) ( ), ( r e f re f p it it
где f некасательные граничные значения f на извне . Покажем справедливость аналога классической теоремы Смирнова. Предположим, что
1 ,
WL p , и выполняются неравенства (4). Пусть
H u и ), (
L u , где
u – некасательные граничные значения u на . Тогда известно, что : ) ( 1
f
-
7 -
. )
2 1 ) ( d z f i z u
Следовательно, ), ( ) ( i i e f re u п.в. на ) , ( при . 0 1 r Отсюда непосредственно следует, что . ), ( p L f Тогда из Теоремы 1 получаем
), ( p H u . Итак, справедлива Теорема 4. Пусть 1 , p WL p , и выполнены неравенства (4). Если 1 H u и ), ( p L u , то ), ( p H u . Рассмотрим следующую задачу Римана в классах : ),
), ( p m p H H
, ), ( ) ( ) ( ) ( f F G F (6) где
), ( p L f некоторая функция. Под решением задачи (6) понимается пара аналитических функций ), ( ), ( )) ( ); ( (
m p H H z F z F , граничные значения которых п.в. на
Yüklə 2,31 Mb. Dostları ilə paylaş:
|