Elmi ƏSƏRLƏr fiZİka-riyaziyyat və texniKA

ƏDƏBİYYAT 

1.

 

Гасанов Р.А. Некоторые условные соглашение в курсе  алгебры. 

// Наука  и школа.  2013, № 4, с.81- 83. 

2.

 

Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. -М. : Наука,  1979 559 с. 

3.

 

Baxşəliyev  Y.R.,  Əbdülkərimli  L.Ş.  Cəbr    və  ədədlər  nəzəriyyəsi  kursu.  Bakı,  Nurlan, 

560 s. 

4.

 

Э.Б.Винберг.Алгебра  многочленов. М.,“ Просвещение”,1980  – 175 c 

5.

 

Əkbərov M.S. Cəbr  və ədədlər  nəzəriyyəsi.  Bakı,   “Nurlar”,    

-

 

30 - 

 

      NPM, 2005, 896 səh. 

6.

 

Okunyov  L.Y. Ali  cəbr, Bakı,  Azərbaycan  Dövlət   nəşriyyatı,  1955-468 s 

7.

 

Винберг Э.Б. Курс алгебры. - М., МЦНМО, 2011 – 592 c. 

8.

 

Соминский И.С. Элементарная алгебра. Дополнительный курс. 

М. :  Физматгиз, 1962 – 200 с. 

 

 

 

 

 

 

 

 

ABSTRACT 

R.A.Hasanov 

The misunderstanding  of the training   of the algebraic  definitions  

and  about  their  foundation 

The    article    deals  with  the  misunderstanding  of  the  training    of  the  algebraic  definitions  and 

about  their  foundation.  The   typical  examples  are shown  also there/ 

 

 

 

 

  

РЕЗЮМЕ 

Р.А.Гасанов 

О  недоразумениях возникновении их при обучение 

алгебраических понятий 

 

В  работе  исследуется  причины  возникновении  недостатков  при  обучения 

алгебраических  понятиях  в  высших  школах  с  педогогическим  профилем.  Указывается 

типичные примеры уяснящие сущность  статьи. 

 

 

 

NDU-nun  Elmi  Şurasının  30  may  2015-ci  il  tarixli  qərarı  ilə  çapa  tövsiyə 

olunmuşdur  (protokol  № 10) 

         Məqaləni  çapa  təqdim  etdi:  Riyaziyyat  üzrə  fəlsəfə  doktoru,  dosent 

T.Nəcəfov 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

NAXÇIVAN DÖVLƏT  UNİVERSİT ET İ.  ELMİ ƏSƏRLƏR,  2015,  № 9 (65) 

 

-

 

31 - 

 

NAKHCHIVAN ST AT E UNIVERSIT Y

.

  SC IENTIFIC  WO RKS,  2015,  № 9 (65) 

 

НАХЧЫВАНСКИЙ  ГОСУДАРСТ ВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТ ЕТ .  НАУЧНЫЕ  ТРУДЫ,  2015,  № 9 (65) 

                                                                                                                                                               

                                                                                           ELSHAD   AGAYEV                                                 

                                                                         e-mail: 

[e-mail]

 

                                                                                         SAHIB  ALIYEV 

Nakhchivan State University  

                                                                                         SEFA  ALIYEV 

                                                                              Nakhchivan  University 

UOT:  517 

ON   NONLINEAR   ELLIPTIC   SECOND  ORDER 

EQUATION`S  SOLUTION  BEHAVIOUR  IN UNBOUNDED DOMAIN 

                                                

In this  parer the  behavior  in  infinity  of  the positive  solution  u(x)  of  nonlinear  elliptic  equation  of the 

second order in  a narrow  area theth  parameter  , turning  into  zero on the  baundary  of the area is 

considered. 

The  incuasing  speed of the  solution  is  determined  depending  on the equation  and parameters  of the 

area. 

 

 

Let

n

R

G



 be an  unfounded  domain  and there  are such 

4

1

0

,

0







R

R

 

that  for  arbitrary   

G

x



 

                                               





0

,

\

0







G

B

G

B

C

x

R

x

R

S



 

 

Here 

x

R

B   is  an open sphere  with  the  cente 

G

x



 in

n

R .  We denote  S-capacity  of 

G

B

x

R

\

  as  

)

(E

C

S

. Let us  call  the domain  G having  the  afove  conditions  as  “ narrow”  domain. 

 

Assume  that  in  G the positive  solution  of  equation   

                                          















n

j

i

x

x

j

i

u

u

x

u

u

u

x

a

Pu

j

i

1

,

0

)

,

,

(

)

,

,

(



         (1) 

is  defined. 

  

Here 

            

 

 

  

ji

ij

j

i

n

j

i

ij

a

a

x

x

u

u

x

a

L













,

)

,

,

(

2

,

 

is  a continuous  elliptic  operator:  that  is  there  is  such 

0





 that  in  all  G 

                                             

2

1

1

,

2

)

,

,

(

























j

i

n

j

i

ij

p

x

a

 

is  true  for arbitrary

n

n

R

P

R

R







,

,





.And  function 



 satisfies   conditions   

        

 

 





































1

1

1

,

)

2

,

1

min(

1

)

,

,

(

,

sgn

sgn

1

2

1

1

S

S

u

C

u

C

u

u

x

u













         (2) 

Defined  as  

                                    















n

j

i

j

i

ij

n

i

ii

G

x

x

a

x

a

1

,

1

1

,

)

(

)

(

sup









 

  is  called  the constant  of ellipticity  of  operator L and assume  that   s  is  positive  and satisfies 

inequality 

2







s

 when  talking  about  the solution  of (1) we shall  understand  its  classic  solution  . 

-

 

32 - 

 

 

In order to investigate  the solution  of equation  (1) in  G satisfying  the  condition  (2) we shall 

give  the following   form  of   “ Principle  of maxsimum  “ and  “  Lemma  about  incuasing  “.





19

15

.

.

1



c

 

 

Principle  of maximum.   Let u(x)  be a positive  solution  of  (1) defined  in  an open domain 



 

and continuous  in 



. Function 



 satisfies   

u

sgn

sgn





.Then 

u

u









max

sup

  is  true. 

Proof:  Assume  countrary.  Let  us suppose  that   









0

0

,

)

(

max

x

x

u

u

.Then  as 

0

x

 is  a 

maximum  point. 

 

 

 













n

j

i

x

x

x

x

ij

u

U

x

a

j

i

1

,

0

0

)

(

,

0

)

(

0

 

From 

u

u

u

x

sgn

)

,

,

(

sgn







 and 

0

)

(



x

u

 we get   

0

)

,

,

(

0









x

x

u

u

x



.That  is  whu  (1) is 

not true.This  contrary  fact  shows  that  our  contrary  assumption  is not  true.   

Lemma  about  Increasing.   Let   

4

1

0

,

0

4







R

B

D

R

  is  an open set and 

G

B

H

x

R

\



. 

Let us  take 

0

4R

B

D









  and assume  that  u(x)  is  a positive  solution  of  (1) defined  in  domain   D  

and  continuous  in 

D

 and satisfying  the  condition   

0



Г

u

  in  boundary   Г . Let  function   φ  satisfy 

condition   (2). 

Then  the equality 

 

 

 

0

)

(

max

)

(

1

)

(

max

R

S

S

D

B

D

x

u

R

H

C

x

u











 





 

is  true.  Here  

0





 is a constant  depending  on   S. 

 

Proff:   Here we will  give  main  points   off  the proff. 

 

Consider  function 

S

x

x

0

1



. Here 

0

x

 is  a fixed  point.  Then  according  to  

Lemma   2.1 (se[1] page 21) if 

2







S

 .Then 

 

 

 

 

2

0

1

0

1

























S

S

x

x

C

x

x

L

Here  C

1

  is  some  constant  and 

1

0

0

1















S

S

x

x

S

x

x

u

.  Traking  into  consideration  the condition 

 

 

 

 



















1

2

1

1

)

,

,

(

u

C

u

C

u

u

x

 

we  will  get 

 

  

)

1

)(

1

(

0

2

)

1

(

0

1

1

0

2

1

0

1

0

0

1

1

1

1

1

,

1

,





























































S

S

S

S

S

x

x

C

x

x

C

x

x

C

x

x

C

x

x

x

x

x

 

substitute 

r

x

x





0

 . 

 

If    

2

)

1

(







S

S



  and   

2

)

1

)(

1

(









S

S



    are true,  then 

S

r

1

 will  be subelliptik  in 

 

0

\ x

D

 for  arfitrary    

n

R

x



0

  as a function  depending  on x. 

 

In this  case let  us find  the  conditions  laying  on  



  and  



 

-

 

33 - 

 

 

 

 

 

S

S

S

S

S

2

2

2























              





1

1

1

1

2

1

























S

S

S

S

S









 

 

Thus  all  the  conditions  of  E.M.Landis`s  Lemma  about increasing  is  true. 

 

Theorem:   Let  G  be a narrow  domain  a positive  solution  of   (1)  continuous  in    G   and 

equal  to zero  on the boundary  of this  domain  is  defned.  Further,  let  function   

)

,

,

(

u

u

x





 satisfy   (2) 

. 

 

Then  there  is  such  a constant 

 

0



C

  that 

 

 

 

 

 

1

)

(

0

)

(

C

r

r

M

C







 

is  true.  Here  

)

(

max

)

(

x

u

r

M

r

x





   ,  and C depends  on   

e

,

0



  and the  dimension   n  of  the space 

(beginning  from  some   











)

(r

M

A

r

  is  possible) 

 

Proff:   If  we apply  the lemma  about increasing  for      

x

R

B     and   

x

R

B

4

 we shall  get   

 

 

 

 

x

R

S

x

R

S

x

R

B

G

x

u

R

G

B

C

B

G

x

u

























)

(

max

\

(

1

)

(

max

4



 

Here  

0





 does not  depend on  S. 

 

As  G  is  a narrow  domain 

 

 

 

 

 

 

0





x

R

S

B

C

 

is  satisfied. 

 

Denote  a as  

a

B

G

x

u

x

R





)

(

max

. 

Then  we will  get   

 

 

 

 

 

 

a

B

G

x

u

S

x

R































4

1

1

)

(

max

0





 

S

0 

 

 

 

 

 





a

B

G

x

u

x

R











0

`

1

)

(

max





 

here 

 

S

4

`









.   

 

Assume  that  according  to principle  of maximum  function  u(x)   gets  its  highest  valume  in   

compact    

x

R

B

G

4



  in  some point    x

1 

 on this  sphere. If  we apply  Lemma  about  increasing  again 

we will  get 

 

 

 

 

 





a

B

G

x

u

x

R











2

0

16

`

1

)

(

max

1





 

 

If  we apply  Lemma  about increasing  and principle  of maximum  k times  we willl  get   

 

 

 

 

 





a

B

G

x

u

k

x

R

i

k









0

4

`

1

)

(

max





 

Denote 

x

r



  as  

r

  and  take 

R

r

k





4

. 

Then  we will  get   

 

 

 

 

 





a

r

M

k







0

`

1

)

(





 

from   

R

r

k

4



  we can define     K   as follows: 

 

 

 











R

r

k

4

log

 

-

 

34 - 

 

It is clear  that 

 

 

 

   

      

1

`

1

0











 

If  we take into  account  this  condition,  we can write  inequalty  (3) as follows: 

 

 

)

(

1

1

log

)

(

)

(

0

4

0

0

4

4

)

4

(

)

(







C

R

r

C

k

C

k

r

C

a

a

R

M

r

M

































 

 

Thus  we get    

1

)

(

0

)

(

C

r

r

M

C







   .