Elmi ƏSƏRLƏr fiZİka-riyaziyyat və texniKA
Yüklə 2,31 Mb. Pdf görüntüsü
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- XÜLASƏ
- SC IENTIFIC WO RKS, 2015, № 9 (65)
|
Лемма 3. Пусть
, ~ k s множество различных точек, имеющее разве лишь единственную предельную точку , , ~ 0
множество чисел
k h ~
условию iii) и неравенствам (9), (10). Тогда бесконечное произведение
пространству
, p L . Задачу (7) будем решать по схеме, предложенной в монографии И.И. Данилюка [18]. Рассмотрим следующие аналитические внутри (знак «+») и вне (знак «-») единичного круга функции : 1 X
z e z e e G z X it it it ln 4 1 exp
1 ,
. 4 exp 2 dt z e z e t i z X it it
Определим
; 2 , 1 , 1 , , 1 , 1 k z z X z z X z Z k k k
и положим
. 2 1 z Z z Z z Z
Непосредственное применение формулы Сохоцкого –Племеля дает
. , 2 2 1 1 it it t i it it it e Z e Z e e Z e Z e G
Отсюда следует, что функция
Z удовлетворяет однородному граничному условию
, 0 Z G Z . (12) Функцию
Z назовем каноническим решением однородной задачи
. , 0
G F
(13) Подставляя значения
из (12) в (13) получим
Z F Z F ,
Пусть
z Z z F z ;
. 1 , , 1 , z z z z z
Нетрудно заметить, что функция
не имеет нулей и полюсов на
. Поэтому функции
и
F имеют одинаковые порядки на бесконечности. Из результатов монографии [18] непосредственно следует, что функция
принадлежит классу Харди
при достаточно малом
0 . Покажем, что
1
Г L 1 . Дальнейшее следует непосредственно из теоремы Смирнова. Совершенно очевидно, что
p it L e F . Поэтому, чтобы установить включение -
11 -
1 L , достаточно показать, что
L Z 1 . Естественно это не всегда имеет место. Положим
d t ctg t t u h 2 4 1 exp
2 sin
0 2 0 0 0 . Разобьем множество
k h на два множества: положительная часть
k h и абсолютные значения отрицательной части
k h . Обозначим
2 sin
k h k k s t t u . Как следует из результатов монографии [18], 2 Z выражается формулой
2 1 0 2 0 2 sin h it t t u t u t u e Z . Из формулы Сохоцкого-Племеля непосредственно следует
1 2 , sup it e Z vrai . Таким образом, для 1
it e Z имеем представление
2 1 1 0 1 2 1 0 2 sin h it it t t u t u t u e Z e Z следует, что произведение (14), т.е. функция
1 it e Z , принадлежит пространству
L , если соблюдены неравенства
. 1 2 ; , 1 2 0 q h k s q h k k (15) В результате получаем, что при выполнении неравенства (15) функция
it e принадлежит пространству 1
и следовательно
1
z . Тогда по теореме единственности [18] (Лемма 19.1, с. 194)
z есть полином z P m степени m , и значит
z P z Z z F m . Выясним, при каких условиях граничное значение
it e F принадлежит пространству
L . Ясно, что it m it it e P e Z e F . Опят таки, если обратить внимание к формуле (14) , то получаем, что при выполнении неравенств
. 1 2 ; , 1 2 0 p h k s p h k k
it e F принадлежит пространству
L . Совершенно очевидно, что
1 H z F . Тогда из Теоремы 4 следует, что
m p H H z F ; . Таким образом, приходим к следующему -
12 - заключению. Теорема 5. Пусть относительно коэффициента
it e G задачи (13) выполнены условия i)-iii);
p WL p 1 , , и скачки
0
h функции
it e G arg
удовлетворяют неравенствам
. 1 2 1 ; , 1 2 1 0 p h q N k s p h s q k k k (16) Тогда общее однородной решение задачи Римана (13) в классах
p m p H H ;
z P m произвольный полином степени m
Из этой теоремы непосредственно следует следующее
0 F однородная задача Римана (13) в классах
p H H 1 ; имеет только тривиальное решение
0 z F . ЛИТЕРАТУРА 1.
Пономарев С.М. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа в трехмерных областях . ДАН СССР, 1979, т.246, №6, с. 1303-1304 2.
уравн., 1992, т.28, №1, с. 123-132 3.
Моисеев Е.И. О решении задачи Франкля в специальной области . Дифф. уравн., 1992, т. 28, №4, с. 682-692 4.
. Докл. РАН, 1994, т. 336, №4, с. 448-450 5.
Седлецкий А.М. Биортогональные разложения в ряды экспонент на интервалах вещественной оси // Усп. мат. наук, 1982, т.37, в.5, с.51-95. 6.
с. 794-798 7.
Моисеев Е.И. О базисности одной системы синусов. Дифференц. уравнения, 1987, т. 23, №1, с. 177-179 8.
уравнения. 1990,т.26,№1, с. 10-16 9.
Билалов Б.Т. Базисные свойства некоторых систем экспонент , косинусов и синусов. Сибирский матем. журнал, 2004, Т.45, №2 , с.264-273 10.
уравнения, 1998, т.34, №1, с.40-44. 11.
Моисеев Е.И. Базисность в весовом пространстве одной системы собственных функций дифференциального оператора. Дифф. уравнения, 1999, т.35, №2, с.200-205. 12.
Pukhov S.S., Sedletskii A.M. Bases of exponents, sines and cosines in weight spaces on finite interval. Dokl. RAN, vol. 425, 4 (2009), pp.452-455. 13.
Cruz-Uribe D. V., Fiorenza A. Variable Lebesgue Spaces: Foundations and Harmonic Analysis. Springer, 2013. 14.
Bilalov B.T., Guseynov Z.G. Basicity of a system of exponents with a piece-wise linear phase in variable spaces. Mediterr. J. Math. vol. 9 , no3 (2012), 487–498, DOI: 10.1007/s00009- 011-0135-71660-5446/12/030487-12 -
13 - 15.
Б и л а л о в Б . Т. , Гусейнов З.Г. Критерий базисности возмущенной системы экспонент в лебеговых пространствах с переменным показателем суммируемости. Доклады Академии Наук, 2011, т.436, №5, с.586-589 16.
Exponent .Georgian Math.J., 2003, v.10, №1, pp. 145-156. 17.
Б и л а л о в Б . Т. , М а м е д о в Ф . И. , Б а н д а л и е в Р . А. , О классах гармонических функций с переменным показателем суммируемости. Докл. НАН Аз., 2007, т. LXIII, в.5, с. 16-21 18.
XÜLASƏ
İşdə, əmsalları sonsuz sayda kəsilməyə malik olan xüsusi bircins Riman sərhəd məsələsinə baxılmışdır. Əmsallar üzərində müəyyən şərtlər daxilində bu məsələnin nöterliyi ( Fredqolmluğu) isbat edilmiş, dəyişən üstlü cəmlənən Hardi siniflərində məsələnin ümumi həlləri qurulmuşdur.
NDU-nun Elmi Şurasının 30 may 2015-ci il tarixli qərarı ilə çapa tövsiyə olunmuşdur (protokol № 10) Məqaləni çapa təqdim etdi: Riyaziyyat üzrə fəlsəfə doktoru, dosent E.V.Ağayev
NAXÇIVAN DÖVLƏT UNİVERSİT ET İ. ELMİ ƏSƏRLƏR, 2015, № 9 (65) NAKHCHIVAN ST AT E UNIVERSIT Y .
НАХЧЫВАНСКИЙ ГОСУДАРСТ ВЕННЫЙ УНИВЕРСИТ ЕТ . НАУЧНЫЕ ТРУДЫ, 2015, № 9 (65) -
14 - SAHİB ƏLİYEV sahibali60@yahoo.com
ağayev.elshad@gmail.com
Teylor sırası
environment, Teylor series
прикасаю, однородное среда, ряды Тейлора.
Bir-birini kəsməyən ixtiyari sayda əyri laylardan ibarət elastiki cismə baxaq . Əlaqələndirici və aparıcı layları ilə bağlı kəmiyyətləri (1) və (2) indeksləri ilə işarə edək. Hər bir layı O ) (k m x
) ( 1 k m x
) ( 2 k m x
) ( 3 k m düzbucaqlı koordinat sistemi ilə əlaqələndirək . Fərz edək ki , aparıcı layı x ) 2 ( 1m O )
( m x
) 2 ( 3m müstəvisi üzərində yerləşir və hər bir aparıçı layının qalınlığı sabitdir .Əlaqələndirici və aparıcı layların qalınlığını bircins və anizotrop götürək . ״ qasqulzusnos ״ müntəzəm yayılmış normal və toxunan qüvvələrin təsiri ilə əmələ gələn gərginlik-deformasiya vəziyyətini tədqiq edək. Hər bir lay üçün tarazlıq tənliklərini ümumiləşdirilmiş Huk qanunu və Koşi münasibətlərini yazaq
0 ) ( ) (
jm m k ij x
m k ij m k il m k m k m k ij e ;
im m k j k jm m k i m k ij x u x u e ) ( ) ( 2 1
k im m k i m k x u (1) (1)-də ümumi qəbul edilmiş işarələrdən istifadə edilmişdir. Tutaq ki, aparıcı və əlaqələndirici layları arasında kontaktlıq şərtləri ödənilir. m
2
laylarının yuxarı səthini S m , aşağı səthini isə S
lə işarə edək. Və kontaktlıq şərtlərini aşağıdakı şəkildə yazaq.
m m m S m i S m i m j S m ij m j S m ij u u n n ), 2 ( ) 1 ( , 2 , 1 ; _ (2)
Burada
m j S n , səthinə çəkilmiş normallardır. ) 2 ( m layının orta səthinin tənliyini
) , ( ) , ( ) 2 ( 3 ) 2 ( 1 ) 2 ( 3 ) 2 ( 1 ) 2 ( 2
m m m m m m x x f x x F x (3)
1 , 0 -kiçik parametrdir. -
15 - Aparıcı layı qalınlığının sabitlik şərtindən və (3) tənliyindən istifadə edərək
səthləri üçün aşağıdakı tənlikləri almaq olar.
2 1 2 3 3 1 2 1 3 1 3 1 3 3 1 3 1 ) 2 ( 3 ) 2 ( 3 3 1 ) 2 ( 3 1 ) 2 ( 2 1 3 1 3 1 ) 2 ( 1 2 1 , , 1 , ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( , , m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m t t t F t t t F t t L t t t F t t L H t x t t L H t t F x t t t F t t L H t x (4)
(4) –də t , , 3 1 m m t parametrlərdir.
)
( ) 2 ( m H m əlaqələndirici layının qalınlığının yuxarısıdır. (4) tənliklərində bu səthlərə çəkilmiş ortonormollar üçün ifadə çıxaraq.
t t A t t A n t t A t t A n t t A t t A n m m m m m m m m m m m m m m m ) ( ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( ) ( 3 , 1 3 , 1 3 , 3 3 , 1 3 , 1 2 , 2 3 , 1 3 , 1 1 , 1 (5)
m m m m m m m m m m t x t x t x t x t t A 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 3 3 , 1 1 ) (
m m m m m m m m m m t x t x t x t x t t A 3 ) 2 ( 1 1 ) 2 ( 3 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ( 1 3 , 1 2 ) (
m m m m m m m m m m t x t x t x t x t t A 3 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 1 1 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 1 3 , 1 3 ) ( 2 3 1 3 2 3 1 2 2 3 1 1 2 3 , 1 ) , ( ) , ( , m m m m m m m m t t A t t A t t A t t A
İxtiyari m-ci təbəqənin gərginlik deformasiya vəziyyətini xarekterizə edən kəmiyyəti
parametrinə nəzərən sıralar şəklində axtaraq.
-
16 -
0 0 0 , , , , , ), ( ; ; q q q q m k i q m k i q m k ij q m k ij q m k ij q m k ij U U e (7)
) 2 (
x və 1
i n üçün (4) və (5) ifadələrində -na nəzərən sıralar şəklində göstərək . (7)-dəki hər bir yaxınlaşmanı Teylor sırasına ayıraq. Nəticədə (2) ilə birlikdə
2 2
H X müstəvisində hər bir yaxınlaşma üçün qeyri - bircins kontaklıq münasibətlərini aşqar layının əyilməsi 3
-dən asılı olmadıqda ilk dörd yaxınlaşma üçün yazaq. Sıfırıncı yaxınlaşma
m m m m t H m i t H m i 1 ) 2 ( 1 ) 1 ( , 0 , ) 2 ( 2 , 0 , ) 1 ( 2 (8
m m m t H m i t H m i u u 1 ) 2 ( 1 ) 1 ( , 0 , ) 2 ( , 0 , ) 1 ( Birinci yaxınlaşma
m m m m m m m m t H m m t H m t H m i t m m t H m i dx df dx df 1 ) 2 ( 1 2 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 , 2 1 , 1 , 2 12 , 0 , ) 1 ( 1 2 1 , 1 ) 1 ( 2 ; 8(a)
m m m m t H m i t m i t H m i u u 1 ) 2 ( 1 1 ) 1 )( , 0 , ) 2 ( 1 1 , ) 2 ( ) , ( 1 , ) 1 ( ~ ~
İkinci yaxınlaşma
m m m m m m m m m t H m i t m m t H m t H m i t m m t H m i dx df P dx df P 1 ) 2 ( 1 1 2 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 , 1 , ) 2 ( 1 ) ( 2 1 , 1 , 2 12 , 1 , ) 1 ( 1 2 1 , 1 ) 1 ( 2 ; 8(b)
m m m t H m i t H m i u u 1 ) 2 ( 1 ) 1 )( , 2 , ) 2 ( ) , ( 2 , ) 1 ( ~ ~
Burada
-
17 -
) ( 2 1 , ) ( ) ( 1 1 , ) ( ) 2 ( 2 1 2 , ) ( 2 ) ( 2 1
m m k ij m k m m k ij m m m m k ij m k i x f x dx df P
) ( 2 ) ( 1 2 ) ( 1 ) 2 ( ) ( 2 1 , ) ( 1 ) ( 1 1 , ) ( ) 2 ( 1 2 , ) ( 1 2 ) ( 1 2 ~ 1
m m k k m m m k m m k m k m m k i m k m m m k m k x u dx df H x u f x u dx df u u
k m m k k m m m k m m k m k m m k i m k m m m k i m k i x u dx df H x u f x u dx df u u 1 0 1 2 1 1 ) ( 2 0 , ) ( 1 ) ( 1 0 , ) ( ) 2 ( 1 1 , ) ( 1 ) ( 1 1 2 ~
Qeyd edək ki , 0 -cı yaxınlaşmanın qiyməti bütün layların ideal yerləşdiyi kompozit materiallarda xarici qüvvələrin təsiri nəticəsində meydana gələn gərginlik-deformasiya vəziyyətinə uyğundur. 1-ci,2-ci və sonrakı yaxınlaşmalar uyğun əyri laylara malik kompozit materiallarda gərginlik deformasiya vəziyyətinə uyğun olacaq.
Yüklə 2,31 Mb. Dostları ilə paylaş:
|