Ethan Frome

2.6.2 Darajali qatorlarni differensiallash va integrallash
Biz quyidagi masalani qaray boshlaymiz. Faraz qilaylik f funksiya ochiq intervalda darajali qator ko`rinishda yozilgan bo`lsin. Bu intervalda f ning hosilasini topishda uning darajali qatoridan qanday foydalanish mumkin? Boshqa savol f ni qanday integrallash mumkin?
Birinchi masalani yechishni sin(x) ning Makloren qatoriga yoyilmasida namoyish qilshingiz mumkin.
(2.34)
Albatta biz bilamizki, sin(x) ning hosilasi cos x. Ammo biz bu yerda uni
Makloren qatoridan foydalanib keltirib chiqaramiz . Yechim oson- biz Makloren qatorini hadma had differentsiallashimiz zarur. va hosil bo`lgan qator cos(x) uchun Makloren qatori ekanligini kuzatamiz.
( 2.35)
Endi boshqa misol, eksponenta e<sup>x</sup> ni ko`ramiz. Uni beshinchi darajali hadgacha yoyilmasi bizga berilgan.

Bu qatorni differentsiallasak,



Yana eksponenta funksiyani qatorga yoyilmasini hosil qilamiz.
Oldingi hisoblashlar shunday fikrga olib keltirdiki, agar f funksiya biror intervalda darajali qatorga ko`rinishda yozilgan bo`lsa, u holda f ning shu intervaldagi darajali qator ko`rinishdagi yoyilmasini f ning darajali qatorga yoyilmasini hadma had differentsiallab hosil qilish mumkin.
Quyidagi teorem buni aniqroq tasdqilaydi, biz uni isbotsiz keltiramiz.
Teorema 2.16. Darajali qatorni differensiallash
Faraz qilaylik, f funksiya x- x<sub>0</sub> ning darajalari bo`yicha darajali qatorga yoyilgan va nolga teng bo`lmagan yaqinlashish radiusi R ga ega
Ya`ni

U holda

1. 
   f funksiya (x₀-R_1,x₀+R) oraliqda differensillanuvchi.
   
2. 
   Agar f ning darajali qatoriga yoyilmasini hadma had diffeensiallasak, hosil bo`lgan qator yaqinlashish radiusi R bo`ladi va y (x₀-R_1,x₀+R) intervalda _{ } ga yaqinlashadi, ya`ni
   

Bu teoremadan darajali qator ko`rinishida yozilgan funksiyallar differensiallanuvchi ekanligi haqidagi muhim xulosa kelib chiqadi.
Teorema 2.16 ga ko`ra _{ } ning darajali qatori yaqinlashishi radiusi f ning darajasi qatori yaqinlashi radiusiga teng. Bu shuni bildiradiki, _{ } ham differentsiallauvchi ekanligini bildiradi va _{ } ham huddi shu yaqinlashish radiusiga ega ekanligini dildiradi va hakozo.
Biz bu protsessi cheksizgacha davo etirshimiz mumkin. va f funksiya
(x₀-R_1,x₀+R) intervalda barcha tartibli hosilaga ega ekanligi to`g`risidagi xulosaga kelamiz.
Shunday qilib, biz quyidagi natijani tasdiqladik.