Ethan Frome

Teorema 2.17 Darajali qator hosilasini tartibi
Agar f funksiya x-x₀ bo`yicha darajali qatorga yoyilib, u qator nolga tenng bo`lmagan yaqinlashish radiusiga ega bo`lsin, u holda f funksiya (x<sub>0</sub>-R<sub>1,</sub>x<sub>0</sub>+R) intervalda barcha tartibli hosilaga aga bo`ladi.

Qisqacha qilib aytganda, juda yahshi xulqqa ega bo`lgan funksiyalarni darajali qator ko`rinishd taqdim qilinishi mumkin, agar f funksiya (x₀-R_1,x₀+R) intervalda barcha tartibli hosilaga ega bo`lmasa, y holda bu intervalda x-x<sub>0</sub> bo`yicha darajali qatorga yoyilamaydi.

Misol 2.25 Darajali qator hosilasi .
Biz Bessel funksiyasini quyidagicha aniqlaymiz.
(2.36)
Cheksiz yaqinlashish radiusiga ega . U holda J₀(x) funksiya (_{ }) intervalda barcha tartibdagi hosilaga ega va bu xosilalar qatorni differensiyalash yo`li bilan olinishi mumkin. Misol uchun, agar biz (2.36) ni quyidagicha yozsak

Hadma had differensiallasak, biz olamiz.

Izoh 2.11 Bu misoldagi hisoblashda ma`lum usuldan foydalanildi, u uncha ahamiyatga ega emas. Birinchidan , agar darajali qator sigma belgisi bilan yozilgan bo`lsa , uninf umumiy hadi formulasi o`zgarmasi differensiyalash uchun qulay ko`rinishda bo`lmaydi. Agar qator nolga teng bo`lmagan o`zgarmas hadga ega bo`lsa, odatda uni hadlar yeg`indisiga yoyilmasi ko`rinishda yozib olib , keyin differensiyalaydi. Ikkinchidan , Biz oxirgi formulada k ko’paytiruvchini maxrajidagi faktorial bilan qisqatrilib, uni soddalashtirganimizga etibor bering.Bu standart soddalashtirish formulasidir.Darajali qator ko`rinishida f funksiyaning xosilasi qatorni hadma had differensiyalash natijasida hosil qilishi muhim ekan. Bu darajali qator ko`rinishd yozilgan f funksiyaning integrali qatorni hadma had integrallash yo`li bilan hosil qilinishi sizga surpriz bo`lmasligi kerak.
Biz , sin(x) funksiya cos (x) funksiyaning integrali ekanligini bilamiz. Bu natija cos (x) funksiya Maklorel qatorini hadma- had integrallash bilan hosil qilingan.

Huddi shu go`ya aniq intervalga ham qo`llaniladi. Misol uchun, to`g`ridan to`g`ri intervallash bilan buni hosil qilamiz

Yuqoridagi hisoblashlar to`g`ril quyidagi Teorema 2.18 bilan tasdqilanadi, biz uni isbotsiz keltiramiz.