Fazodagi tekislik. Tekislik tenglamalari. Iki tekislikning fazoda o’zaro joylashuvi. Nuqtadan tekislikkacha bo’lgan masofa. Reja

Berilgan uchta nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasi

Agar bitta to‘g‘ri chiziqda yotmovchi M₁(x₁;y₁;z₁), M₂(x₂;y₂;z₂) va M₃(x₃;y₃;z₃) nuqtalar berilgan bo‘lsa, ular orqali yagona tekislik o‘tishi ma’lumdir. Faraz qilaylik, M(x;y;z) shu tekislikning ixtiyoriy nuqtasi bo‘lsin. U vaqtda, vektorlar komplanar (3-rasm) va

bo‘lishi ravshandir.
,
,

ekanligini va aralash ko‘paytmaning koordinatalar shaklini e’tiborga olsak,
(7)
ni olamiz. (7) berilgan uchta nuqta orqali o‘tuvchi tekislik tenglamasidir. Uni to‘rtinchi tartibli determinant orqali quyidagicha yozsa bo‘ladi:
.
Tekisliklar bog‘lami
Berilgan bitta M₀(x₀;y₀;z₀) nuqtadan o‘tuvchi barcha tekisliklar to‘plami tekisliklar bog‘lami, M₀ nuqta uning markazi deb ataladi.
Agar bog‘lamga tegishli tekislik
Ax+By+Cz+D=0
deb qarab, u M₀ nuqta orqali o‘tishini hisobga olsak,
Ax₀+By₀+Cz₀+D=0, D=- Ax₀ -By₀-Sz₀
ekanligidan
A(x–x₀)+B(y–y₀)+C(z–z₀)=0 (8)
ga kelamiz. (6.1.8) tekisliklar bog‘lamining tenglamasidir va unda A,B,C lar ixtiyoriy qiymatlar qabul qilib, ular (4) shartni qanoatlantirishi kerak.
Tekisliklar dastasi
Berilgan to‘g‘ri chiziq orqali o‘tuvchi barcha tekisliklar to‘plami tekisliklar dastasi deyilib, berilgan to‘g‘ri chiziq uning o‘qi deyiladi.
Agar dastaga tegishli bo‘lgan ikkita
A₁x+B_1y+C₁z+D₁=0,
A₂x+B_2y+C₂z+D₂=0
tekisliklar ma’lum bo‘lsa, dastaning umumiy tenglamasini
(A₁x+B_1y+C₁z+D₁)+(A₂x+B_2y+C₂z+D₂)=0
ko‘rinishda ifodalash mumkin bo‘lib, bu yerda  va  lar ixtiyoriy ²+²>0 shartni qanoatlantiruvchi sonlardir. Buni isbotlaylik. M₀(x₀;u₀;z₀) dasta o‘qining ixtiyoriy nuqtasi desak, ikala tekislik ham o‘q orqali o‘tganligi sababli
(A₁x₀+B₁ y 0+C₁z₀+D₁)+(A₂x₀+B₂ ­y ­₀+C₂z₀+D₂)=0  ^.0+^.0=0  0=0
to‘g‘ri tenglikni olamiz.
Eslatma. Dasta tenglamasini bir parametrli ko‘rinishda ham yozsa bo‘ladi, masalan,
  0 deb faraz qilinsa,
A₁x+B₁y+C₁z+D₁=q(A₂x+B₂y+C₂z+D₂)
ni olish mumkin, bu yerda . Ammo, bu tenglamadan ikkinchi tekislik tenglamasini olib bo‘lmaydi, ya’ni bu to‘plamga ikkinchi tekislik kirmaydi.
  0 deb qilingan faraz ham shunga o‘xshashdir.