Fimmtándi kafli: Aðhvarfsgreining

Fjölbreytuaðhvarfsgreining

Hægt er að gera aðhvarfsgreiningu þar sem fleiri en ein frumbreyta er notuð. Í Everitt (1996)⁴ eru gögn sem sýna hversu mikið af rjómaís var neytt á 30 mismunandi fjögurra vikna tímabilum á ónefndum stað. Jafnframt var mældur meðalhiti og meðalverð á ísnum á sama tímabili. Hægt er að nota fjölbreytudreifigreiningu (multiple regression) til þess að leggja mat á það hvort fylgibreytan ísneysla sé háð þessum tveimur frumbreytum (meðalverði á ís og meðalhita). Jafnframt er hægt að spá fyrir um ísneyslu út frá hitastigi og ísverði. Í töflu 15.2 eru gögnin sem við notum til að athuga þetta.

Tafla 15.2. Ísneysla og hitastig.
Tímabil	Ísneysla	Meðalverð	Meðalhiti (°C)
1	0,386	0,270	5,00
2	0,374	0,282	13,33
3	0,393	0,277	17,22
4	0,425	0,280	20,00
5	0,406	0,272	20,56
6	0,344	0,262	18,33
7	0,327	0,275	16,11
8	0,288	0,267	8,33
9	0,269	0,265	0,00
10	0,256	0,277	-4,44
11	0,286	0,282	-2,22
12	0,298	0,270	-3,33
13	0,329	0,272	0,00
14	0,318	0,287	4,44
15	0,381	0,277	12,78
16	0,381	0,287	17,22
17	0,470	0,280	22,22
18	0,433	0,277	22,22
19	0,386	0,277	19,44
20	0,342	0,277	15,56
21	0,319	0,292	6,67
22	0,307	0,287	4,44
23	0,284	0,277	0,00
24	0,326	0,285	-2,78
25	0,309	0,282	-2,22
26	0,359	0,265	0,56
27	0,376	0,265	5,00
28	0,416	0,265	11,11
29	0,437	0,268	17,78
30	0,548	0,260	21,67

Gögnin eru sett upp í gagnasniði SPSS eins og í töflu 15.2. Fjórar breytur eru búnar til, ein fyrir tímabil, ein fyrir fylgibreytuna (ísneysla) og ein fyrir hvora frumbreytu (meðalverð og meðalhita) fyrir sig. Þegar um þrjár breytur er að ræða eins og hér (eina fylgibreytu og tvær frumbreytur) er hægt að fá fram dreifirit eins og gert var í einföldu aðhvarfsgreiningunni hér að framan. Túlkun þess er þó erfiðari því dreifiritið er þrívítt en ekki tvívítt. Þessi leið er farin í valrönd til að búa dreifireitið til:

Graphs

Chart Builder
Veldu Scatter og tvísmellt er á Simple 3-D Scatter og síðan breytunum þremur komið fyrir á þrjá ása myndritsins: (a) ísneysla á Y ás, (b) meðalverð á X ás, og (c) meðalhiti á Z ás. Þegar þessu er lokið er smellt á takkann OK. Þá birtist myndritið á mynd 15.7 í niðurstöðuskrá.

Mynd 15.7. Þrívítt dreifirit (3D scatter plot) í niðurstöðuskrá fyrir ísneyslu eftir verði og hitastigi.

Það er nokkuð erfitt að túlka þetta myndrit á einfaldan hátt, en þó má sjá ef vel er gáð, að ísneysla virðist minnka þegar verðið hækkar og að ísneyslan eykst eftir því sem hitinn eykst.

Til þess að gefa skipun um fjölbreytuaðhvarfsgreininguna í SPSS er eftirfarandi leið síðan farin í valrönd:
Analyze

Regression

Linear
Þá opnast glugginn á mynd 15.8. Í glugganum á myndinni hefur fylgibreytan isneysla verið færð í reitinn Dependent og frumbreyturnar is_verd og hiti í reitinn Independent(s). Þegar breyturnar hafa verið færðar á sinn stað í glugganum á mynd 15.8 er smellt á takkann OK. Þá birtast meðal annars töflurnar á mynd 15.9.

Mynd 15.8. Úrvinnslugluggi í SPSS þar sem línuleg aðhvarfsgreining er skilgreind.

Í efri töflunni á mynd 15.9 má í fyrsta lagi sjá að R² bendir til þess að þetta aðhvarfsgreiningarlíkan lýsi gögnunum nokkuð vel. Líkanið skýrir 63% af dreifingu gilda ísneyslu á þessum 30 fjögurra vikna tímabilum. Hátt F-gildi og lágt p-gildi úr ANOVA töflunni bendir til þess að áhrif þeirra breyta sem við mældum á ísneyslu séu marktæk.

Model Summary Model R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate 1 ,794^a ,630 ,603 ,04120 a. Predictors: (Constant), Meðalhiti, Meðalverð
ANOVA^b
Model		Sum of Squares	df	Mean Square	F	Sig.
1	Regression	,078	2	,039	23,002	,000^a
	Residual	,046	27	,002
	Total	,124	29
a. Predictors: (Constant), Meðalhiti, Meðalverð b. Dependent Variable: Ísneysla
Mynd 15.9. Niðurstöður aðhvarfsgreiningar í niðurstöðuskrá.

Í töflunni á mynd 15.10 (Coefficients) má sjá stuðla þá sem setja má inn í aðhvarfsjöfnu til þess að geta spáð fyrir um ísneyslu að því gefnu að við vitum hitastig og ísverð á þeim tíma sem við viljum spá um neysluna. Stuðullinn fyrir ísverð er neikvæður (-1,416) sem bendir til þess að ísneysla sé líkleg til þess að minnka þegar verðið hækkar, en stuðullinn er jákvæður fyrir hitastig (0,005) sem bendir til þess að ísneysla aukist þegar hitnar í veðri. Kannski augljós sannindi!

Coefficients^a
Model		Unstandardized Coefficients		Standardized Coefficients	t	Sig.
		B	Std. Error	Beta
1	(Constant)	,698	,255		2,735	,011
	Meðalverð	-1,416	,923	-,181	-1,535	,136
	Meðalhiti	,005	,001	,754	6,402	,000
a. Dependent Variable: Ísneysla
Mynd 15.10. Stuðlar sem fara í aðhvarfsjöfnu.

Ef við vitum t.d. að hitastigið er 5,5 stig og verðstuðullinn er 0,275 getum við sett upp jöfnu til þess að spá fyrir um ísneysluna undir þessum tilteknu kringumstæðum. Í fjölbreytuaðhvarfsgreiningu höfum við bara einn skurðpunkt (a) en við bætum við aðhvarfsstuðlum fyrir hverja breytu sem við höfum í aðhvarfslíkaninu. Því er eftirfarandi form aðhvarfsjöfnu notað þar sem tvær frumbreytur eru notaðar:

y = a + b₁X₁ + b₂X₂ + v

Stuðlarnir b1 og b2 standa fyrir það sem er undir coefficients í niðurstöðuskrá (mynd 15.10) fyrir verð og hita. Við setjum þá upp jöfnu með skurðpunktinum þar sem stuðli fyrir hvora breytu sinnum gildið á breytunni er bætt við:

ísneysla = 0,698 + (-1,416 * 0,275) + (0,005 * 5,5)
eða
ísneysla = 0,698 - 0,389 + 0,0275 = 0,336
Tökum nú annað dæmi þar sem hitastigið er -14°C og verðstuðullinn er 0,6.
ísneysla = 0,698 + (- 1,416 * 0,6) + (0,005 * (-14))
eða
0,698 - 0,8496 - 0,071 = -0,223
Samkvæmt þessu er ísneyslan minni en engin sem er augljóslega röng niðurstaða. Ástæðan fyrir þessari niðurstöðu er að sjálfsögðu sú að við erum að setja gildi inn í aðhvarfsjöfnuna sem ekki eru í gögnunum sem liggja til grundvallar aðhvarfsjöfnunni. Það er afar varhugavert, eins og minnst var á hér að framan. Spönn breytunnar hitastig var -4,44 til 22.22, og spönn breytunnar verd var 0,260 til 0,292. Bæði gildin sem við notuðum í aðhvarfsjöfnunni eru utan þessarar spannar sem þýðir að afar ólíklegt er að við fáum sennilega niðurstöðu (nema sambandið milli breytanna sé fullkomlega línulegt).⁵
Aðhvarfsgreining hlutfalla

Í mörgum tilfellum er hægt að líta á fylgibreytuna sem samfellda breytu en það er þó ekki algilt. Ef rannsaka ætti hvort lengd menntunar hefur áhrif á hvort fólk reykir eða ekki yrði fylgibreytan tvíkosta. Annað hvort reykir fólk eða ekki og skiptist þess vegna í tvo hópa. Fylgibreytan mælir hve margir eru í hvorum hópi og lýsir þar af leiðandi hlutföllum. Hlutföll hafa þann eiginleika að vera á bilinu 0 til 1 en ef línulegri aðhvarfsgreiningu er beitt á tvíkosta breytu getur hlutfallið orðið neikvætt. Þetta er leyst með því að breyta hlutfallinu í hlutfallslíkur og logaritmi tekinn af hlutfallslíkunum og þá er verður til breyta sem getur tekið hvaða gildi sem er. Annað vandamál við línulega aðhvarfsgreiningu er að getur leifin fengið afbrigðilega dreifingu og það getur ógnað áreiðanleika marktektar prófa. Hér verður ekki fjallað nánar um fræðilega hlið aðhvarfsgreiningu hlutfalla en umfjöllun um þetta er hægt að finna víða⁶. Í töflu 15.3 eru gögn úr ímyndaðri rannsókn á tengslum launa (skipt í 6 hópa eftir launum) og reykinga. Talan 1 merkir að þátttakandinn reykir og talan 0 að þátttakandinn reykir ekki.

Tafla 15.3. Laun og reykingar
Þátttakandi	Laun	Reykir		Þátttakandi	Laun	Reykir
1	4	0		26	5	0
2	6	0		27	1	0
3	5	0		28	3	0
4	6	0		29	4	0
5	4	0		30	3	0
6	2	0		31	3	0
7	4	0		32	5	1
8	4	0		33	3	0
9	1	1		34	2	0
10	4	0		35	2	0
11	4	0		36	3	0
12	5	1		37	5	0
13	1	0		38	5	0
14	6	0		39	7	0
15	4	0		40	1	1
16	2	1		41	1	1
17	5	0		42	2	0
18	1	1		43	4	0
19	5	0		44	1	1
20	1	1		45	1	1
21	1	1		46	5	0
22	3	0		47	3	0
23	2	0		48	7	0
24	1	1		49	3	0
25	1	0		50	4	0