Fizika-matematika fakulteti matematika kafedrasi algebra va sonlar nazaryasi fanidan

Tarif. R maydon va R É N ¹ Æ uning qism to‘plami bo‘lib, R maydonda aniqlangan amallarga nisbatan N maydon bo‘lsa, N maydon E maydonning qism maydoni deyiladi.
Tarif. Aytaylik R maydon E butunlik soxasi bo‘lsin. Agar
1. E R ni qism halqasi bo‘lsa.
2. shartlar o‘rinli bo‘lsa, u holda R ni E butunlik soxasining nisbatlari maydoni deyiladi.
Masalan. Q- ratsional sonlar maydoni Z butun sonlar halqasining nisbatlari maydoni bo‘ladi.
Agar E halqa bo‘lsa, uchun quyidagi tengliklar o‘ringa ega bo‘ladi:

Agar R maydon bo‘lsa, qo‘yidagi munosabatlar o‘ringa ega bo‘ladi:
Teorema. Aytaylik E halqa K esa uning bo‘sh bo‘lmagan qism to‘plami bo‘lsin. K E halqaning qism halqasi bo‘lish uchun a) "a,bÎ K a+b, a×b Î E
b) aÎ K Þ (-a)Î K shartlarni o‘ringa ega bo‘lish zarur va etarlidir.


5-§. To‘plam sistemalari. To‘plamlar halqasi va algebrasi
To‘plamlar halqasi. Elementlari to‘plamlardan iborat bo‘lgan to‘plamga to‘plamlar sistemasi deyiladi. Bundan buyon, agar oldindan taokidlanmasa, to‘plamlar sistemasi sifatida oldindan tayinlangan X to‘plamning qism to‘plamlaridan tuzilgan sistemalarni qaraymiz. To‘plamlar sistemasini odatda F, G, R,  va x.q. kabi gotik harflar bilan belgilaymiz.
Agar F to‘plamlar sistemasidan olingan ixtiyoriy AF , BF elementlar ustida biror  algebraik amal aniqlangan bo‘lib, bu amal natijasida hosil bo‘lgan element yana shu F sistemaga tegishli bo‘lsa, u holda F sistemani  amalga nisbatan yopiq sistema deyiladi.
To‘plamlar sistemasida  algebraik amallar:  -to‘plamlar birlashmasi;
 -to‘plamlar kesishmasi; \ -to‘plamlar ayirmasi;  -to‘plamlarning simmetrik ayirmasi bo‘lishi mumkin.
Tarif: Agar F to‘plamlar sistemasi  va  amallariga nisbatan yopiq bo‘lsa, ya’ni A, B  F lar uchun A  B  F va A  B  F o‘rinli bo‘lsa, u holda F sistemani to‘plamlar halqasi deyiladi.  ,  amallari orqali A va V to‘plamlarning yig‘indisi
AB(A  B)  (A  B)
A va V to‘plamlarning ayirmasi esa
A\B= A  (A B)
tengliklar orqali ifodalangani tufayli F to‘plamlar halqasi  va \ amallarga nisbatan xam yopiq ekanligi kelib chiqadi.
Bundan tashqari to‘plamlar halqasi

ko‘rinishdagi chekli sondagi to‘plamlar birlashmasi va chekli sondagi to‘plamlar kesishmasiga nisbatan xam yopiq ekanligi o‘z-o‘zidan ravshan.
F halqa \ amalga nisbatan yopiq ekanligidan AF uchun
A \ A=F bo‘lganligidan har qanday to‘plamlar halqasi bo‘sh to‘plam  ni o‘z ichiga qabul qilishi kelib chiqadi.
Tarif. E to‘plam F to‘plamlar sistemasining birlik elementi deyiladi, agar bu to‘plam F sistemaga tegishli bo‘lib, AF lar uchun AE=A tenglik o‘rinli bo‘lsa.
Birlik elementga ega bo‘lgan to‘plamlar halqasi to‘plamlar algebrasi deb ataladi.
Misollar.
1. Ixtiyoriy A to‘plam uchun  (A) orqali A ning barcha qism ostilari sistemasini belgilaymiz.  (A) sistema E=A birlik elementga ega bo‘lgan to‘plamlar algebrasini hosil qiladi.
2. Ixtiyoriy bo‘sh bo‘lmagan A to‘plam uchun {A,} sistema algebra hosil qiladi. Bunda birlik element E=A bo‘ladi.
3. Ixtiyoriy A to‘plamning barcha chekli qism ostilari sistemasi to‘plamlar halqasini hosil qiladi. Agar A to‘plamning o‘zi xam chekli to‘plam bo‘lsa, u holda hosil qilingan to‘plamlar sistemasi algebra xam bo‘la oladi.
4. Haqiqiy sonlar o‘qidagi barcha chegaralangan to‘plamlar sistemasi halqa hosil qiladi, lekin bu sistema algebra bo‘la olmaydi.