Fizika-matematika fakulteti matematika kafedrasi algebra va sonlar nazaryasi fanidan

Maydonlarga misollar.
1.Arifmetik qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan, hamma ratsional sonlar to‘plami maydon uchun eng sodda misol bo‘laolaydi. Darhaqiqiat, amallarga nisbatan ratsional sonlar to‘plami kommutativ halqa tashkil qilib, ratsional a  0 va b uchun ax=b tenglama shu halqada hamavaqt echiladigan tenglamaladir; chunki ikkita ratsional sonning nisbati yana ratsional son bo‘ladi.
Aksincha, hamma butun sonlar to‘plami arifmetik qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan maydon emas, faqat kommutativ halq tashkil etadi, chunki uning ichida ax=b (a0) tenglamani harvaqt ham echib bo‘labermaydi, bunga sabab shuki, ikkita butun sonning nisbati xar doim butun bo‘labermaydi.
2. Boshqa misol-hamma haqiqiy (yani ratsional va irratsional) sonlar to‘plami oldingi arifmetik amallarga nisbatan maydon tashkil qiladi, chunki bu to‘plam ko‘rayotgan amallarga nisbatan kommutativ halqa tashkil qilib, shu to‘plama taqsim qilish amali harvaqt bajariladi (albatta, nolga bo‘lish chiqarib tashlanadi). Bu ishimizda biz ko‘pincha sonli maydonlar bilan ish ko‘ramiz, yani shunday sonli halqlar bilan ish ko‘ramizki, ular ichida bo‘lish amalini, nolga bo‘lishni e’tiborga olmaganda bajarish mumkin bo‘lsin. Hamma kompleks sonlar to‘plami eng keng sonli maydon tashkil qiladi: u harqanday sonli maydonni o‘z ichida birn qismi sifatida saqlaydi.
3. Hamma butun sonlarni ikki sinfga ajratamiz: juft sonlar sinfiga va toq sonlar sinfiga. Birinchi sinfni A₀ orqali va ikkinchi sinfni A₁ orqali belgilashni shart qilib olamiz, so‘ngra ikkita A₀ va A₁ elementlardan iborat bo‘lgan S to‘plamni tekshiramiz. Bu to‘plamda biz ikkita algebraik amalni – sinflarni qo‘shish va ko‘paytirishning tarifini beramiz.
A_i va A_j sinflarning A_i+A_j yig‘indisi deb biz A₀ va A₁ sinflardan shunisini tushunamizki u, A_i sinfning har bir sonini A_j sinfning harbir soni bilan qo‘shishdan hosil bo‘lgan butun sonlarning hammasini o‘z ichida saqlasin.
A_i va A_j sinflarning A_iA_j ko‘paytmasi deb A₀ va A₁ sinflardan shunisini aytamizki, uning ichida A_i sinfning harbir sonini A_j sinfning har bir soni bilan ko‘paytirishdan hosil bo‘lgan hamma butun sonlar bo‘lsin.
Quyidagicha bo‘lishini ko‘rsatish qiyin emas
(9)
va
(10)
(9) tengliklarning to‘g‘riligi shundan malumki, ikkita juft sonning yig‘indisi ham juft son, juft son bilan toq sonning yig‘indisi ham toqdir va hamma ikkita toq son yig‘indisi juft sondi. (10) tenglikning to‘g‘rilishi ham shunga o‘xshash fikrlarga asoslanadi.
Shunday qilib, biz S to‘plamda ikkita algebraik amal tayinladik – sinflarni qo‘shish va ko‘paytirish. Bu amallar kommutativ, assotsiativ va distributi qonunlarga buysunadi, chunki bu amallar butun sonlarni arifmetik qo‘shish va ko‘paytirish amallarni bilan bog‘langandir, bular uchun esa yuqoridagi qonunlar to‘g‘ridir.
(9) tengliklardan bevosita ko‘rinadiki, A₀ sinf S to‘plamning noldan elementi bo‘lib hizmat qiladi va S to‘plamning harbir elementi o‘z-o‘ziga qarama-qarshi (A₀ sinf uchun A₀ o‘zi qarama-qarshi, A₁ uchun qarama-qarshi A₁ ing o‘zidir). Demak, biz A₀ sinfni 0 orqali belgilay olamiz. O‘z-o‘zidan malumki, bundagi 0 to‘plam S ning nolli A₀ elementining belgilanishi bo‘lib, 0 son emasdir.
Shunday qilib S to‘plam sinflarni qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan kommutativ halqa tashkil qiladi. Biz hozir S ning maydon ekanligini ham ko‘ramiz.
Haqiqatan ham, (10) tengliklarga murojaat qilaylik. Ular har qanday a  0 va b uchun ax=b tenglamaning S ichida echilishini ko‘rsatadi, masalan, A₁ x = A₀ tenglamaning echilmasi x=A₀ va A₁x=A₁ tenglamaning echimi x=A₁ bo‘ladi.
(10) tengliklardan ayonki, S maydonning birlik elementi A₁ sinfdan iboratdir. Demak, biz uni e orqali belgilay olamiz.
Shunday belgilashlar natijasida (9) va (10) tengliklar quyidagi ko‘rinishni oladi:
(11)
Hozir tekshirilgan maydonga misol quyidagi tomondan o‘rnlidir. (11) tengliklardan bittasini, masalan e+e=0 ni olaylik. Endi a elementning ka karralisining tarifini eslasak biz e+e=0 tenglikni 2e=0 ko‘rinishda yozaolamiz. Bundan biz ko‘ramizki, birlik e elementining musbat ne karrasi nolga bo‘lgan maydonlar ham mavjud ekan.
Shunday qilib ikki tipdagi maydonlar bor: birlik e elementining faqat nolli qarrasi nolga teng bo‘lgan maydon va birlik e elementining faqat nolga teng bo‘lgan maydon. Ikkinchi tipdagi maydon uchun shunday butun musbat r son mavjud bo‘lishi kerakka, u son uchun pe=0 bo‘lib, r dan kichik bo‘lgan harqanday butun musbat n son uchun ne nolga teng bo‘lmaydi. Biz shunday r sonni maydonning xarakteristikasi deb ataymiz va shunga ko‘ra ikkinchi tipdagi maydonlarni chekli xarakteristikaga ega bo‘lgan, yani r xarakteristikali maydonlar deymiz, birinchi tipdagi maydonlarni esa, nolli xarakteristikaga ega bo‘lgan maydonlar deymiz.
Chekli xarakteristikali maydonlar quyidagi xossalarga ega.
1.Agarda r maydon chekli r xarakteristikali bo‘lsa, u holda r tub son bo‘lishi kerak.
Isbot. Aksincha faraz etaylik, r - murkkab son bo‘lsin:

bundagi n₁, n₂ sonlar r dan kichik bo‘lgan butun musbat sondir. Distributiv qonunga asosan


bo‘ladi. bundan ushbu natija kelib chiqadi:

Lekin biz bilamizki, maydonda nolning bo‘luvchilari bo‘lmaydi. Shuning uchun yoki bo‘ladi, biroq bunday bo‘lishi mumkin emas, chunki tarif bo‘yicha r xarakteristika, tenglikni hosil qiladigan, butun musbat n sonlar orasidagi eng kichik sondir.
2. CHekli r xarakteristitkali r maydondan olingan ixtiyoriy a element uchun pa=0 bo‘ladi.
Isbot. a elementning musbat karrasi tarifiga muvofiq biz quyidagicha yoza olamiz

.
Nolni xarakteristikaga ega bo‘lgan maydonlarga murojaat qilib, ularning tubandagi xossalarini qayd qilib o‘tamiz.
Agar R nol xarakteristikali maydon, a-P ning elementi, k – butun son bo‘lsalar, u holda ka=0 tenglik faqat a=0 yoki k=0 bo‘lganda va faqat shu holdagina bajariladi.
Haqiqatan ham, agar a=0 yoki k=0 bo‘lsa, shubhasiz ka ham nolga teng bo‘ldi.
Aksincha, faraz etaylik ka=0 bo‘lsin. U vaqtda k musbat yoki nolga teng bo‘lganda mana bu

hosil bo‘ladi, endi bundan, R maydonda nolning bo‘luvchilari bo‘lmaganligi uchun, a=0 yoki ke=0 kelib chiqadi. So‘nggi holda k nolga teng bo‘lishi kerak, chunki R maydonning xarakteristikasi nolga teng.