Fizika matematika fakulteti

1.2. Maydon kengaytmalari 
Bir kichik novdasidir tushunchasi E 
⊂ F ham nazarda tomonidan, nuqtai 
qarama-qarshi nazaridan qaraladi mumkin F bo'lishdan 
maydon kengaytirish
 (yoki 
faqat kengaytirish) E tomonidan belgilanadi 
F / E , 
va " F over E " ni o'qing. 
Maydon uzaytirish bir asosiy ma'lumot, uning hisoblanadi 
darajasi 
[ F : E ] , 
ya'ni, hajmi F sifatida E -vector makon. Bu formulani qondiradi 
[ G : E ] = [ G : F ] [ F : E ] . 
Darajasi cheklangan kengaytmalar cheklangan kengaytmalar deb 
yuritiladi. C / R va F 
4
/ F 
2
kengaytmalari 
2
daraja, R / Q esa 
cheksiz 
kengayishdir. 
Transsendensiya asoslari
Yuqorida qayd etilgan joy 
oqilona kasrlar 
E ( X ) , X bir bo'lib 
noaniq
 , bir 
algebraik kengaytirish emas E koeffitsientlar bilan hech ko'phad tenglama bor, 
chunki E nol 
bo'ladi X . X kabi algebraik 
bo'lmagan elementlar 
transandantal
 deb 
ataladi . Norasmiy ma'noda noaniq X va uning kuchlari E elementlari bilan o'zaro ta'sir 
qilmaydi . Shunga o'xshash qurilish bitta emas, balki aniqlanmaganlar to'plami bilan 
amalga oshirilishi mumkin. 
Yuqorida ko'rib chiqilgan E ( x ) / E maydon kengaytmasi yana bir bor asosiy 
misoldir: 
agar x algebraik 
bo'lmasa 
(ya'ni, x koeffitsientlari E bo'lgan 
polinomning 
ildizi
 bo'lmasa ), u holda E ( x ) E ga izomorf bo'ladi ( X ) . Ushbu 
izomorfizm ratsional fraktsiyalarda x ni X ga almashtirish orqali olinadi . 
Pastki S maydon F bir bo'lib 
engib asos
 u bo'lsa 
Algebraik mustaqil
 ustidan 
(hech qanday ko'phad munosabatlarni qondirish emas) E va agar F bir algebraik 
kengaytmasi E ( S ) . Har qanday F / E maydon kengaytmasi transsendensiya asosiga 

---

ega. Shunday qilib, maydon kengaytmalari E ( S ) / E ( 
sof transsendental 
kengaytmalar
 ) va algebraik kengaytmalarga bo'linishi mumkin . 
Agar 
bunday 
raqam 
bo'lmasa, 
xarakteristikasi 
nolga 
teng 
deb 
hisoblanadi. Xarakteristikani aniqlash muammosi odatda oddiy maydon - har qanday 
maydonda oddiy maydonlardan bittasini o'z ichiga olganligi sababli, o'zining pastki 
maydonlarini o'z ichiga olmaydigan maydon tushunchasi yordamida hal qilinadi . 
Galois maydonlari - bu cheklangan sonli elementlardan tashkil topgan 
maydonlar. Ularning birinchi kashfiyotchisi Evariste Galois nomi bilan atalgan . 

 Maydonning xarakteristikasi har doim 
yoki asosiy raqam . 
o 
Xarakterli maydon 
ratsional sonlar maydoniga izomorfik subfildni o'z 
ichiga oladi 
... 
o 
Oddiy xarakterli maydon 
qoldiq maydoniga izomorfik subfildni o'z 
ichiga oladi 
... 

Yakuniy maydonda elementlarning soni har doim bo'ladi 
- tub 
sonning kuchlari. 
o 
Bundan tashqari, shaklning istalgan raqami uchun 
dan noyob 
( izomorfizmgacha ) maydon mavjud
odatda belgilangan elementlar 
... 

Maydonda nolga teng bo'luvchilar yo'q . 

Maydon 
multiplikativ 
guruhining 
istalgan 
cheklangan 
kichik 
guruhi tsiklikdir . Xususan, 
cheklangan 
maydonning 
nolga 
teng 
bo'lmagan 
elementlarining multiplikativ guruhi
izomorfik 
... 

Algebraik geometriya nuqtai nazaridan maydonlar nuqta hisoblanadi, 
chunki ularning spektri to'liq bitta nuqtadan iborat - ideal {0}. Darhaqiqat, maydon 
boshqa ideallarni o'z ichiga olmaydi : agar nolga teng bo'lmagan element idealga 
tegishli bo'lsa, unda uning barcha ko'paytmalari, ya'ni butun maydon ham 

---

topiladi. Aksincha, bir kommutativ halqa bir maydon bo'lmagan o'zgarmas (va nol) 
element mavjud A . Shunda a tomonidan hosil qilingan asosiy ideal butun halqaga 
to'g'ri kelmaydi va u maksimal (va shu sababli asosiy ) idealga kiradi; ya'ni bu 
halqaning spektri kamida ikkita nuqtani o'z ichiga oladi. 
0 ga teng xarakteristikalar maydonlari  

- ratsional sonlar , 

- haqiqiy raqamlar , 

- murakkab raqamlar , 

- ratsional sonlar sohasidagi algebraik sonlar (maydonda kichik 
maydon)
). 

Raqamlar yoqadi , odatiy qo'shish va ko'paytirish operatsiyalariga 
nisbatan. Bu subfild hosil qiluvchi kvadratik maydonning bir misolidir
... 

Maydonidir oqilona funktsiyalari shaklida
qayerda 
va 
- 
ba'zi bir maydon bo'yicha polinomlar 
(unda 
, a 
va 
konstantalardan 
tashqari umumiy bo'luvchilar bo'lmasligi kerak). 
Nolga teng bo'lmagan xususiyatlar maydonlari
Har qanday cheklangan maydon nolga teng bo'lmagan xususiyatga ega. Oxirgi 
maydonlarga misollar: 

- modul qoldiqlari maydoni
qayerda 
- asosiy raqam. 

- yakuniy 
maydon dan
elementlar 
qaerda 
- 
asosiy 
raqam, 
- tabiiy. Barcha cheklangan maydonlar ushbu shaklga ega. 
Nolga teng bo'lmagan xarakteristikaning cheksiz maydonlari misollari mavjud.