Fizika matematika fakulteti

Xarakterli
Ikki elementlar ko'paytirish tashqari F , u mahsulot aniqlash mumkin n 
⋅ bir tasodifiy 
element ning A ning F ijobiy tomonidan 
to'la-son 
n bo'lishi n -fold yig'indisi 
a + a + 
⋅⋅⋅ + a (bu F elementidir). 
Agar shunday musbat tamsayı bo'lmasa 
n- 1 = 0 , 
u 
holda F 0 
xarakteristikaga
 ega 
deyiladi. 
[11]
 Masalan, Q ratsional 
sonlar 
maydoni 0 xarakteristikaga ega, chunki n ning musbat tamsayılari nolga teng 
emas. Bor bo'lsa Aks holda, bo'lib musbat butun n , bu tenglama qondirish, eng kichik 
bunday musbat butun bir bo'lishi ko'rsatilgan bo'lishi mumkin 
, bosh soni
 . Odatda 
bilan 
belgilanadi p va 
dala 
xususiyati 
bor, 
deyiladi p keyin. Misol 
uchun, 
maydon F 
4
yildan buyon (yuqorida Kiritilgan jadval namoyish bilan) xususiyati 2 
bor , men + i = Ö . 
Agar F xususiyati bor p , keyin p 
⋅ bir = 0 , barcha uchun A yilda F . Bu shuni 
anglatadiki 
( a + b ) 
p
= a 
p
+ b 
p
, 

---

chunki 
binomial 
formulada
 paydo 
bo'lgan barcha 
boshqa 
binomial 
koeffitsientlar 
p ga bo'linadi . Bu erda a 
p
: = a 
⋅ a ⋅ ... ⋅ a ( p faktorlar) - bu p - kuch, 
ya'ni a elementning p - katlama hosilasi . Shuning uchun, 
Frobenius xaritasi
 
Fr: F → F , x 
⟼ x 
p
qo'shilishi bilan mos keladi F (va shuningdek, ko'paytma bilan) va shuning uchun 
maydon 
homomorfizmi. 
[12]
 Ushbu 
gomomorfizm 
mavjudligi p xarakterdagi maydonlarni 0 xarakterli maydonlardan ancha farq qiladi. 
Subfields va asosiy maydonlar
A 
kichik novdasidir 
E maydon F bir kichik majmui bo'lgan F dala operatsiyalari 
nisbatan bir maydon bo'ladi F . Ekvivalentsiyali E - bu 1 ni o'z ichiga olgan va nolga 
teng bo'lmagan elementni qo'shish, ko'paytirish, qo'shish teskari va multiplikativ 
teskari 
ostida 
yopilgan F ning 
kichik 
to'plami . Bu 
chora 1 
ε E , barcha 
uchun A , B ε E ikkala bir + b va a · b mavjud E , va bu hamma uchun bir ≠ 0 ichidaE , 
har ikki - bir va 1 / a mavjud E . 
Dala 
homomorfizm
 xaritalar 
bor f : E → F ikki 
sohalarda 
o'rtasida 
shunday f ( e 
1
+ e 
2
) = f ( e 
1
) + f ( e 
2
) , f ( e 
1 
, e 
2
) = f ( e 
1
) f ( e 
2
) , va f (1 
E
) = 
1 
F
, 
bu 
erda e 
1
vae 
2
o'zboshimchalik 
elementlardir E . Barcha 
dala 
homomorfizmlari
 in'ektsiondir
 . 
[13]
 Agar f ham
 sur'ektiv bo'lsa
 , u izomorfizm deb 
ataladi (yoki E va F maydonlariizomorf deyiladi). 
Agar tegishli (ya'ni, kichikroq) pastki maydonlar bo'lmasa, 
maydon asosiy 
maydon
 deb ataladi . Har qanday F maydoni asosiy maydonni o'z ichiga oladi. Xos 
bo'lsa F bo'lgan p (a bosh soni), bosh maydon cheklangan maydon izomorf 
bo'lgan F 
p
quyida taqdim etdi. Aks holda asosiy maydon Q uchun izomorfdir . 
Sonli maydonlar 
Sonli maydonlar ( Galois maydonlari deb ham ataladi ) bu sonli elementlarga ega 
bo'lgan maydonlar bo'lib, ularning soni maydon tartibi deb ham yuritiladi. Yuqoridagi 
kirish misol F 
4
to'rtta elementdan iborat maydon. Uning kichik novdasidir F 
2
ta'rifi 

---

bilan bir maydon kamida ikki alohida elementlari bor, chunki, eng kichik maydon 1 ≠ 
0 . 
Oddiy sonli maydonlarga, asosiy tartibda, 
modulli arifmetik
 yordamida to'g'ridan-
to'g'ri 
kirish 
mumkin . Belgilangan 
musbat n 
soni 
uchun "modul n " arifmetikasi raqamlar bilan ishlashni anglatadi 
Z / n Z = {0, 1, ..., n - 1}. 
Ushbu 
to'plamga 
qo'shish 
va 
ko'paytirish 
amaldagi 
amallarni butun 
sonlarning Z to'plamida bajarish, n ga bo'lish va natijada qoldiqni olish orqali amalga 
oshiriladi. Ushbu qurilish maydonni aniq beradi, agar n oddiy 
son bo'lsa
 . Masalan, 
asosiy n = 2 ni olish yuqorida aytib o'tilgan F 
2
maydoniga olib keladi . Uchun n = 
4 va yana umuman, har qanday uchun 
murakkab soni
 (ya'ni, har qanday 
raqam n mahsulot sifatida ifodalanishi mumkin n = r 
⋅ s ikki qat'iy kichik tabiiy 
sonlar), Z/ n Z maydon emas: Z / n Z da r the s = 0 bo'lganligi sababli nolga teng 
bo'lmagan 
ikkita 
elementning hosilasi nolga 
teng , 
bu 
yuqorida
 aytib 
o'tilganidek
 , Z / n Z ning maydon bo'lishiga to'sqinlik qiladi . Shu 
tarzda qurilgan p elementlari ( p asosiy bo'lgan) bo'lgan Z / p Z maydon odatda F 
p 
bilan
belgilanadi . 
Har cheklangan maydon F ega q = p 
n
qaerda, elementlar p bosh va n ≥ 1 . Ushbu 
bayonot, chunki F o'zining asosiy maydonidagi 
vektor maydoni
 sifatida qaralishi 
mumkin . 
Kattalik
 , 
bu 
vektor 
makon 
deb, 
cheklangan 
majburiy 
hisoblanadi n ta'kidlagan bayonot ko'zda tutuvchi. 
[15]
 
Bilan bir maydon q = p 
n
elementlar sifatida qurilgan bo'lishi mumkin 
kuchli 
sohasida
 ko'phadning 
f ( x ) = x 
q
- x . 
Bunday 
kuchli 
maydon 
bir 
kengaytmasi F 
p
ko'phad 
bo'lgan f ega q nol. Bu 
chora f buyon imkon qadar ko'p nol ega 
darajasi
 bo'yicha f hisoblanadi q . Uchun Q = 
2 
2
= 4 barcha to'rt elementlari deb, u yuqorida ko'paytma jadvalining foydalanish 
holatda tekshirish mumkin F 
4
tenglama qondirish x 
4
= x , ular nol bo'ladi, shuning 
uchun f . Aksincha, F 
2
da f faqat ikkita nolga ega (ya'ni 0 va 1), shuning uchunf bu 

---

kichik sohada chiziqli omillarga bo'linmaydi. Asosiy dala-nazariy tushunchalarni 
batafsil ishlab chiqib, bir xil tartibli ikkita cheklangan maydon izomorf ekanligini 
ko'rsatishi mumkin. 
[16]
 Bu gapirish shunday odat bo'lganbilan cheklangan 
maydon q tomonidan belgilanadi elementlar, F 
Q
yoki GF ( Q ) . 
Tarixiy jihatdan uchta algebraik fan sohani kontseptsiyasiga olib keldi: polinomial 
tenglamalarni echish, 
algebraik sonlar nazariyasi
 va 
algebraik geometriya
 . 
[17]
 A 
tomonidan 1770 yilda qabul qilingan bir maydon tushunchasiga tomon birinchi 
qadam 
Yusuf-Louis Lagrange
 , nol permuting kuzatildi kim x 
1
, x 
2
, x 
3
bir 
kub 
ko'phadning
 ifodasi 
( x 
1
+ ω x 
2
+ ω 
2 
x 
3
) 
3
( 
birlikning
 uchinchi 
ildizi
 bo'lgan ω bilan ) faqat ikkita qiymat hosil bo'ladi. Shu 
tarzda, 
Lagranj noma'lum x uchun 
kub 
tenglamani x 
3 
ga
kvadrat 
tenglamaga kamaytirish 
yo'li 
bilan 
davom 
etadigan 
Skipion 
del 
Ferro
 va 
Fransua Vietning
 klassik 
echim 
usulini 
kontseptual 
ravishda 
tushuntirdi . 
[18]
 4-darajali tenglamalarni
 xuddi shunday kuzatish bilan birga Lagranj 
natijada maydonlar tushunchasi va guruhlar tushunchasiga aylangan narsani 
bog'ladi. 
[19]
 Vandermonde
 , shuningdek 1770 yilda va to'liqroq 
Karl Fridrix 
Gauss
 o'zining " 
Diskvizitsiya Arithmeticae"
 asarida (1801), tenglamani o'rgangan 
x 
p
= 1 
asosiy p uchun va 
yana zamonaviy tildan foydalanib, natijada 
Galois 
guruhining
 tsikli paydo bo'ldi . Gauss , p = 2 
2 k
+ 1 bo'lsa , 
muntazam p -gonni
 qurish 
mumkin degan xulosaga keldi . Lagranj ishiga asoslanib, 
Paolo Ruffini
 (1799) 
kvintik 
tenglamalarni
 (5-darajali polinom tenglamalari) algebraik usul bilan echib bo'lmaydi, 
deb da'vo qildi; ammo, uning dalillari noto'g'ri edi. Ushbu bo'shliqlarni 1824 yilda 
Nils 
Henrik Abel
 to'ldirdi. 
[20]
 Évariste Galois
 , 1832 yilda polinom tenglamasining 
algebraik tarzda echilishi uchun zarur va etarli mezonlarni ishlab chiqdi va shu 
bilan bugungi kunda 
Galua nazariyasi
 deb ataladigan narsani o'rnatdi . Hobil ham, 
Galua ham bugungi kunda 
algebraik sonlar maydoni
 deb ataladigan narsalar bilan 
ishladilar , lekin na maydon, na guruh haqida aniq tushunchalarni tasavvur qildilar. 

---

1871 yilda 
Richard Dedekind
 to'rtta arifmetik amallar ostida yopiq bo'lgan 
haqiqiy yoki murakkab sonlar to'plamiga 
nemischa
 "tan" yoki "korpus" degan 
ma'noni anglatuvchi Körper so'zini (organik ravishda yopiq mavjudlikni taklif qilish 
uchun) kiritdi. Inglizcha "maydon" atamasi 
Mur
 tomonidan kiritilgan 
(1893)
 . 
[21]
 
Maydon deganda biz o'zimizga shunchalik yopiq bo'lgan va har qanday ikkala 
sonni qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'linish yana bir qator tizimni hosil qilishini 
ta'minlaydigan har qanday cheksiz haqiqiy yoki murakkab sonlar tizimini nazarda 
tutamiz. 
- Richard Dedekind, 1871 yil 
[22]
 
1881-yilda 
Leopold 
Kronecker
 u 
deb 
atagan 
belgilangan rasyonalitenin 
domen bir 
maydon 
bo'lib, 
ulardan 
oqilona 
kasrlar
 zamonaviy 
nuqtai 
nazaridan. Kronecker tushunchasi barcha algebraik sonlar maydonini qamrab olmagan 
(bu Dedekindning ma'nosidagi maydon), lekin boshqa tomondan Dedekindnikidan 
ko'ra mavhumroq bo'lgan, chunki u maydon elementlarining tabiati to'g'risida aniq 
taxmin qilmagan. Kroneker Q (π) kabi maydonni mavhum ravishda Q ( X ) ratsional 
funktsiya maydoni sifatida talqin qildi . Bundan oldin, transandantal raqamlarning 
namunalari 
Jozef Liovilning
 1844 yilda ishlaganidan, 
Charlz Hermitga
 (1873) qadar 
ma'lum bo'lgan va
Ferdinand fon Lindemann
 (1882) o'z navbatida e va π ning 
transsendentsiyasini isbotladi . 
[23]
 
Abstrakt 
maydonning 
birinchi 
aniq 
ta'rifi 
Weber 
(1893) 
bilan 
bog'liq
 . 
[24]
 Xususan, 
Geynrix 
Martin 
Weber
 tushunchasiga F 
p
maydon 
kiradi . 
Juzeppe Veronese
 (1891) 
Hensel (1904)
 ning p -adik sonlar maydonini joriy 
etishiga olib kelgan rasmiy kuchlar qatori sohasini o'rgangan . 
Shtaynits (1910)
 shu 
paytgacha to'plangan mavhum maydon nazariyasi haqidagi bilimlarni sintez qildi. U 
maydonlarning xususiyatlarini aksiomatik ravishda o'rganib chiqdi va ko'plab muhim 
dala-nazariy 
tushunchalarni 
belgilab 
berdi. 
Galois 
nazariyasi
 , 
Qurilish 
maydonlari
 va bo'limlarida 
aytib 
o'tilgan 
teoremalarning 
aksariyati
Elementar 
tushunchalarni
 Shtaynitsning 
ishlarida 
uchratish 
mumkin. 
Artin 
va 
Shrayer 
(1927) sohadagi buyurtmalar
 tushunchasini va shu tariqa tahlil sohasini sof algebraik 

---

xususiyatlar bilan bog'lagan . 
[25]
 
Emil Artin
 Galois nazariyasini 1928 yildan 1942 
yilgacha qayta ishlab, 
ibtidoiy element teoremasiga
 bog'liqlikni yo'q qildi .