Funksiyani hosila yordamida to`la tekshirish va uning grafigini chizish

3 - Teorema. (1-yetarli shart) f(x) funksiya x₀ kritik nuqtaning biror δ atrofida differensiallanuvchi x₀ nuqtaning o`zida uzluksiz bo`lib, diffcrensiallanuvchi bo`lishi shart bo`lmasin. Agar (x₀-δ; x₀) va (x₀; x₀+ δ) intervallarda f `(x) hosila qarama-qarshi ishorali qiymatlarga erishsa, x<sub>0</sub> ekstremum nuqta bo`ladi. Xususan:

a) agarda (x₀-δ;x₀) da f(x) > 0, (x₀; x₀+δ) da f `(x) < 0 bo`lsa, x₀ qat`iy maksimum nuqta (3a - rasm); b) agarda (x<sub>o</sub>- δ; x<sub>0</sub>) da f `(x )<0, (x₀; x₀+δ) da f (x)>0 bo`lsa, x<sub>0</sub> - qat`iy minimum nuqta (3b - rasm).

Agarda f `(x) x<sub>0</sub> dan o`tayotib, o`z ishorasini saqlab qolsa, x<sub>0</sub> kritik nuqta ekstremum nuqta bo`la olmaydi (3с - rasm).

x₁-max(.) x₂-min (.) x₃-ekstremum (.) emas

3 - rasm
Masala. у = (x - 4)· funksiyaning ekstremum nuqtalarini toping.

Yuqorida funksiyaning kritik nuqtalari to`plami {0;l} aniqlangan edi. Funksiya aniqlanish sohasi sonlar o`qini kritik nuqtalar yordamida intervallarga ajratamiz va yetarli shartlarni tekshirib ko`ramiz:

Demak, x = 0 kritik nuqta ekstremum nuqta emas, x = 1 nuqta esa, funksiyaning minimum nuqtasi bo`lib, y(l) = - 3.

4 - Teorema. (2-yetarli shart) f(x₀) = 0 bo`lib, x<sub>0</sub> statsionar nuqtada ikkinchi tartibli hosila f "(x<sub>0</sub>) mavjud bo`lsa, u holda agar f (x₀) <0 bo`lsa. x<sub>0</sub> – maksimum nuqta, agar f "(x<sub>0</sub>)>0 bo`lsa, x₀ - minimum nuqta va agarda f "(x₀) = 0 bo`lsa, x₀ nuqtada ekstremumning mavjudlik masalasi ochiq qoladi.

Masala. у = x³ + 6x² funksiyaning ekstremum nuqtalarini toping.

Funksiya hosilasi y`= 3-(x<sup>2</sup>+4x) va y`(x) = 0 tenglama yechimlari x = -4, x = 0 nuqtalar uning statsionar nuqtalaridir. Ikkinchi tartibli hosila y"= 6 - (x+2). Statsionar nuqtalarda y"(- 4) = -12 < 0, y"(0) = 12 > 0 bo`lgani uchun, ikkinchi yetarli shartga ko`ra x = - 4 - qat`iy maksimum nuqta va y(- 4) = 32, x = 0 - qat`iy minimum nuqta va y(0) = 0.