Ga misollar. Haqiqiy Evklid fazosining ta’rifi

Vektorlar orasidagi burchak

Ta'rif 1 . Nolga teng bo'lmagan vektorlar orasidagi burchak a va b Evklid fazosidavlat E n uchun raqam hisoblanadi 

Ta'rif 2 . Vektorlar x va y Evklid fazosi En deyiladi ortogonzig'ir agar ular tenglikni qanoatlantirsa (x, y) = 0.

Agar x va y nolga teng bo'lmasa, ta'rifdan kelib chiqadiki, ular orasidagi burchak tengdir

E'tibor bering, nol vektor har qanday vektorga ortogonal hisoblanadi.

Misol ... Geometrik (koordinatali) fazoda?3, qaysi Evklid fazosining alohida holati, birlik vektorlari i, j va k o'zaro ortogonal.

Ortonormal asos

Ta'rif 1 . E1 asosi Evklid fazosining , e2, ..., eni En deyiladi ortogonzig'ir agar bu asosning vektorlari juft ortogonal bo'lsa, ya'ni. agar

Ta'rif 2 . Agar ortogonal bazisning barcha vektorlari e1, e2, ..., en - birlik, ya'ni. e i = 1 (i = 1,2, ..., n), keyin bazis chaqiriladi ortonormal, ya'ni. uchunortonormal asos



Teorema. (ortonormal asosni qurish bo'yicha)

Ortonormal asoslar har qanday Evklid fazosida mavjud E n.

Isbot ... Ish uchun teoremani isbotlaylik n = 3.

E1, E2, E3 Evklid fazosining E3 ixtiyoriy asosi bo'lsin Keling, ortonormal asosni quraylikbu bo'shliqda.Biz qaerga qo'yamiz ? - biz tanlagan haqiqiy raqamshuning uchun (e1, e2) = 0, keyin biz olamiz

va bu aniqmi? = 0, agar E1 va E2 ortogonal bo'lsa, ya'ni. bu holda e2 = E2, va beri bu asosiy vektor.

(e1, e2) = 0 ekanligini hisobga olsak, olamiz

Shubhasiz, agar e1 va e2 E3 vektori bilan ortogonal bo'lsa, ya'ni. bu holda e3 = E3 olish kerak. Vektor E3? 0 chunki E1, E2 va E3 chiziqli mustaqil,shuning uchun e3? 0.

Bundan tashqari, yuqoridagi mulohazalardan kelib chiqadiki, e3 shaklda ifodalanishi mumkin emas e1 va e2 vektorlarining chiziqli birikmasi, shuning uchun e1, e2, e3 vektorlari chiziqli mustaqildir.sims va juft ortogonaldir, shuning uchun ularni Evklidning asosi sifatida olish mumkin.E3 maydoni. Bu faqat qurilgan asosni normallashtirish uchun qoladi, buning uchun bu etarlituzilgan vektorlarning har birini uzunligiga bo'ling. Keyin olamiz

Shunday qilib, biz asos yaratdik ortonormal asosdir. Teorema isbotlangan.

Ixtiyoriy asosdan ortonormal asos qurish uchun qo'llaniladigan usul asos deyiladi ortogonallashtirish jarayoni ... E'tibor bering, isbotlash jarayonidateorema biz juft ortogonal vektorlarning chiziqli mustaqil ekanligini aniqladik. Bundan tashqari agar En da ortonormal asos bo'lsa, u holda har qanday vektor x uchun? Enfaqat bitta parchalanish mavjud

bu yerda x1, x2, ..., xn - bu ortonormal asosdagi x vektorining koordinatalari.

Chunki

keyin skalyar tenglikni (*) ga ko'paytiramiz, olamiz  .

Keyinchalik, biz faqat ortonormal asoslarni ko'rib chiqamiz va shuning uchun ularni yozishning soddaligi uchun bazis vektorlari bo'yicha yuqoridan nollarchetlab o'tamiz.

Foydalanilgan adabiyotlar:

1. 
   Gelfand I.M. Chiziqli algebra bo'yicha ma'ruzalar. - 5. - M .: Dobrosvet, MTsNMO, 1998 .-- 319 b. - ISBN 5-7913-0015-8.
   
2. 
   A. I. Kostrikin, Yu. I. Manin Chiziqli algebra va geometriya. - M .: Nauka, 1986 .-- 304 b.
   

Foydalanilgan saytlar:

1. 
   Htps//Bodrenko.com
   
2. 
   https://mywordworld.ru