Ga misollar. Haqiqiy Evklid fazosining ta’rifi

4.2 teorema. Har qanday Evklid fazosi, agar undagi biron bir x elementning normasi tenglik bilan aniqlansa, normallashadi

Isbot.(4.9) munosabat bilan aniqlangan me'yor uchun normalangan fazo ta'rifidan 1 ° -3 ° aksiomalar haqiqiy ekanligini isbotlash kifoya.
Norm uchun 1 ° aksiomaning haqiqiyligi darhol skaler mahsulotning 4 ° aksiomasidan kelib chiqadi. Norm uchun 2 ° aksiomaning haqiqiyligi deyarli to'g'ridan-to'g'ri skaler mahsulotning 1 ° va 3 ° aksiomalaridan kelib chiqadi.
3 ° aksioma norma uchun, ya'ni tengsizlik (4.8) uchun haqiqiyligini tekshirish qoladi. Biz Koshi-Bunyakovskiy tengsizligiga (4.6) tayanamiz, uni biz shaklda qayta yozamiz.

Oxirgi tengsizlikdan, skalyar mahsulotning 1 ° -4 ° aksiomalaridan va normaning ta'rifidan foydalanib, biz olamiz

Teorema isbotlangan.

Natija.(4.9) munosabat bilan aniqlangan elementlar normasi bilan har qanday Evklid fazosida uchburchak tengsizligi (4.8) har qanday ikkita x va y element uchun amal qiladi.

Yana shuni e'tiborga olingki, har qanday haqiqiy Evklid fazosida bu fazoning ikkita ixtiyoriy x va y elementlari orasidagi burchak tushunchasini kiritish mumkin. Vektor algebrasiga to'liq o'xshab, biz qo'ng'iroq qilamiz burchak elementlar orasidagi ph X va da bu burchak (0 dan p gacha), uning kosinusu munosabat bilan aniqlanadi

Bizning burchak ta'rifimiz to'g'ri, chunki Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi (4,7 ") tufayli oxirgi tenglikning o'ng tomonidagi kasr mutlaq qiymatda bittadan oshmaydi.

Bundan tashqari, agar bu elementlarning (x, y) skalyar ko'paytmasi nolga teng bo'lsa, Evklid fazosining ikkita ixtiyoriy x va y elementlarini ortogonal deb atashga rozi bo'lamiz (bu holda burchak kosinasi (x elementlar orasidagi ph). va y nolga teng bo'ladi).
Yana vektor algebrasiga murojaat qilib, ikkita ortogonal elementlarning x + y yig'indisini x va y gipotenuza deb ataymiz. to'g'ri uchburchak x va y elementlari asosida qurilgan.
E'tibor bering, har qanday Evklid fazosida Pifagor teoremasi o'rinli: gipotenuzaning kvadrati summasiga teng oyoq kvadratlari. Darhaqiqat, x va y ortogonal va (x, y) = 0 bo'lgani uchun, aksiomalar va normaning ta'rifi tufayli.

|| x + y || 2 = ( x + y, x + y) = (x, x) + 2 (x, y) + (y, y) = (x, x) + (y, y) =|| x || 2 + || y || 2.

Bu natija n ta juft ortogonal elementlarga umumlashtiriladi x 1, x 2, ..., x n: agar z = x 1 + x 2 + ... + x n bo'lsa, u holda

|| x || 2 = (x 1 + x 2 + ... + x n, x 1 + x 2 + ... + x n) = (x 1, x 1) + (x 2, x 2) + .... + ( xn, xn) = || x 1 || 2 + || x 1 || 2 + ... + || x 1 || 2.

Xulosa qilib, biz oldingi bo'limda ko'rib chiqilgan o'ziga xos Evklid bo'shliqlarining har birida normani, Koshi-Bunyakovskiy tengsizligini va uchburchak tengsizligini yozamiz.
Skayar mahsulotning odatiy ta'rifi bilan barcha erkin vektorlarning Evklid fazosida a vektor normasi uning uzunligi | a | bilan mos keladi, Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi ((a, b) 2 ≤ | a | 2 | b | 2 va uchburchak tengsizligi - | a + b | ≤ | a | + | b | ko'rinishga (Agar biz a va b vektorlarini uchburchak qoidasiga ko'ra qo'shsak, u holda bu tengsizlik trivial tarzda kamayadi. uchburchakning bir tomoni uning boshqa ikki tomonining yig'indisidan oshmasligi).
Evklid fazosida C [a, b] barcha uzluksiz funksiyalarning x = x (t) a ≤ t ≤ b segmentida skalyar ko‘paytmali (4.1), x = x (t) element normasi teng va Koshi-Bunyakovskiy va uchburchak tengsizliklari ko'rinishga ega

Bu tengsizliklarning ikkalasi ham matematik tahlilning turli sohalarida muhim rol o'ynaydi.

Evklid fazosida E n skalyar ko'paytmali (4.2) n ta haqiqiy sonning tartiblangan to'plamlari, har qanday elementning normasi x = (x 1, x 2, ..., x n) ga teng.

Nihoyat skalyar ko‘paytma (4.5) n ta haqiqiy sonning tartiblangan to’plamlarning Evklid fazosida x=(x1,x2,…..,xn) har qanday element normasi 0 ga teng (esda tutingki,(4.3) matritsa simmetrik va musbat aniq kvadrat shakl hosil qiladi(4.4)

Koshi-Bunyakovskiy va uchburchak tengsizliklari shaklga ega