Gottfried Wilhelm von Leibnitz (1646-1716) promovisao binarni brojni sistem

BROJNI SISTEMI

•  

Gottfried Wilhelm von Leibnitz (1646-1716)

• promovisao BINARNI brojni sistem

• bit (od eng. binary digit)

• an-1 × 2n-1 + an-2 × 2n-2 + ... + a0 × 20

• se predstavlja kao

• an-1 an-2 ... a0

10012 = 1 × 24-1 + 0 × 24-2 + 0 × 24-3 + 1 × 24-4

• 10012 = 1 × 24-1 + 0 × 24-2 + 0 × 24-3 + 1 × 24-4

• = 1 × 23 + 1 × 20

• = 8 + 1 = 910

•  

• 11.0112 = 1 × 22-1 + 1 × 22-2 + 0 × 22-3 + 1 × 22-4 + 1 × 22-5

• = 1 × 21 + 1 × 20 + 0 × 2-1 + 1 × 2-2 + 1 × 2-3

• = 2 + 1 + 1/4 + 1/8

• = 3 3/810

PREDSTAVLJANJE NEGATIVNIH BROJEVA

• predznak i vrijednost,

• unipolarni kod (excess-N) i

• komplement kodovi.

Komplement notacije

• omogućavaju da se sabiranje i oduzimanje, i pozitivnih i negativnih brojeva, pojednostavi i svede na komplementiranje (kada je to potrebno) i sabiranje

• Za svaku bazu r postoji :

• r-komplement kod (rkk, komplement baze ili potpuni komplement) i

• (r-1)-komplement kod ((r-1)kk, komplement maksimalne cifre ili nepotpuni komplement).

• Po definiciji, za bilo koji broj N, sa bazom r i n cjelobrojnih cifri, njegov r-komplement je:

• r-k(N) = rn - N za N ≠ 0, i

• r-k(N) = 0 za N = 0

• Po definiciji, za bilo koji broj N, sa bazom r, n cjelobrojnih i m decimalnih cifara, njegov (r-1) – komplement je:

• (r-1)k(N) = rn - r-m - N

• U opštem slučaju važi:

• r-k(N) = (r-1)k(N) + r-m

• za cjelobrojne vrijednosti

• 10k(N) = 9k(N) + 1

• 2k(N) = 1k(N) + 1

• Komplement komplementa nekog broja N je sam taj broj, jer je

• r-k(rn -N) = rn - (rn -N) = N

Oduzimanje brojeva M i N po bazi r pomoću r-komplementa se svodi na sabiranje

• Oduzimanje brojeva M i N po bazi r pomoću r-komplementa se svodi na sabiranje

• N - M = M + r-k(N)

•  

• Ako u ovoj operaciji postoji prenos, on se zanemaruje, a ako ne postoji, rezultat se komplementira i promjeni mu se predznak. Dokaz:

• (M + rn - N)  rn za M  N postoji prenos

• (M + rn - N) < rn za M < N ne postoji prenos

Oduzimanje brojeva M i N po bazi r pomoću (r-1)-komplementa svodi se na sabiranje:

• Oduzimanje brojeva M i N po bazi r pomoću (r-1)-komplementa svodi se na sabiranje:

• N - M = N + (r-1)k(M)

• Ako u ovoj operaciji postojii prenos, dodaje se 1 cifri najniže vrijednosti, a ako ne, odredi se (r-1)-komplement i promjeni predznak

BCD Kodovi

GRAY-EV KOD

BROJEVI SA POMIČNIM ZAREZOM

• masa elektrona (9 × 10-28 grama)

• masa Sunca (2 × 1033 grama) – kako predstaviti?

• U dekadnom brojnom sistemu format broja za pomičnim zarezom je:

• n = f × 10e

• gdje je f - frakcija ili mantisa, a e - eksponent.

Opseg / preciznost

• Opseg vrijednosti koje se mogu predstaviti na ovaj način, je određen brojem cifara u eksponentu, a preciznost brojem cifara u frakciji

• Neka je :

• 0.1  |f | < 1 ili 0

• trocifreni broj sa predznakom,

• eksponent e - dvocifreni broj sa predznakom. Vrijednost takvog broja se kreće u opsegu

• +0.100 × 10-99 < n < +0.999 × 10+99

dva osnovna problema:

• dva osnovna problema:

• 1. Vrijednosti u područjima 1, 3, 5 i 7 se ne mogu predstaviti sa 3-cifrenom frakcijom i 2-cifrenim eksponentom. Pri tome su greške usljed ulaska u područja 3 i 5 "manje ozbiljne" od onih u području 1 i 7.

• 2. Između svaka dva realna broja X i Y postoji realan broj Z=(X+Y)/2. Za razliku od kontinualnog niza realnih brojeva, u pomenutom formatu sa pomičnim zarezom se može predstaviti samo 900 × (99 × 2 +1) = 179100 pozitivnih brojeva (0.100 × 10-99 do 0.999 × 1099), isto toliko negativnih i nula, što ukupno čini samo 358201 brojeva od beskonačno mnogo realnih brojeva iz tog opsega.

FP binarno!

• Binarni broj X se može predstaviti u formatu pomičnog zareza kao:

• X = F × 2E

• gdje je frakcija F u opsegu

• -1 < F < 1

• predstavljena u 2kk sa decimalnom tačkom desno od najznačajnijeg bita, a eksponent E - cijeli broj sa predznakom.

normalizovana forma

IEEE 754 (1985. god)

• 1. Format jednostruke preciznosti (32 bita),

• 2. Format dvostruke preciznosti (64 bita) i

• 3. Format proširene preciznosti (80 bita)

signifikant umjesto frakcija

• 1 ≤ s < 2

• Primjeri:

• 0.510 = 3F000000

• 1.010 = 3F800000

• 1.510 = 3FC00000

Tipovi brojeva prema IEEE 754 standardu