Guliston davlat universiteti

2.2-§. Traektoriyalar usuli yordamida ayrim kombinatorik munosabatlarni isbotlash.

2.1- Teorema:

agar x,y –lar bir xil juftlikka ega boʻlsa , =0 ga , agar x,y –lar har xil juftlikka ega boʻlsa.
Isbot: Faraz qilaylik traektoriya p ta yuqoriga , q ta pastga yoʻnalgan kesmalardan iborat boʻlsin.
Bu degani larning p ta son +1 ga q ta son -1 ga teng degani.
U holda p+q=x, p-q=y ga teng boʻladi .
Bundan topiladi.
p va q lar butun son boʻlganligi uchun x,y – lar bir xil juftlikdagi sonlar boʻlishi
mumkin .
Agar qanday kesmalar yuqoriga yoʻnalganligi koʻrsatilsa , u holda traektoriya
toʻliq aniqlangan boʻladi.
O nuqtadan (x;y) nuqtaga umumiy traektoriyalar soni quyidagiga teng boʻladi:

2.2-teorema : (oynada akslantirish prinsipi)

butun kordinatali nuqtalar boʻlsin va bu A nuqtaga OX oʻqiga nisbatan simmetrik
nuqta. U holda OX oʻqi bilan kesishuvchi yoki u bilan umumiy nuqtaga ega
boʻlgan A+B ga traektoriyalar soni dan B ga traektoriyalar soniga teng boʻladi.
Isbot: A+B ga boruvchi har bir T traektoriyaga (OX oʻqi bilan kesishuvchi yoki
u bilan umumiy nuqtaga ega boʻlgan ) ga mos traektoriyalarni quyidagi
qoida boʻyicha mos qoʻyamiz:(10-rasm)
T traektoriyalardan OX oʻqi bilan birinchi marta uchrashguncha boʻlganlarini olamiz va ularni OX oʻqiga nisbatan simmetrik akslantiramiz.
Bundan keyin esa va ustma –ust tushadi. Shunday qilib A+B ga OX oʻqi bilan kesishuvchi yoki u bilan umumiy nuqtaga ega boʻlgan traektoriyalar toʻplami va dan B ga barcha traektoriyalar toʻplami bilan bir qiymatli moslik oʻrnatildi. Teorema isbotlandi.
2.3-teorema:Agar x>0,y>0 boʻlsa, u holda koordinata boshi (0;0) nuqtadan (x;y) nuqtaga OX oʻqida ( O nuqtadan boshqa) uchga ega boʻlmagan traektoriyalar soni
ga teng.
Isbot: O nuqtani (x;y) nuqta bilan birlashtiruvchi ox oʻqi bilan kesishmaydigan barcha traektoriyalar A(1;1) nuqtadan oʻtadi. (11-rasm).
A nuqtadan B nuqtaga olib boruvchi umumiy traektoriyalar soni ga teng.
A nuqtadan B nuqtaga olib boruvchi OX oʻqi bilan kesuvchi traektoriyalar soni ga teng.
Shunday qilib izlanayotgan traektoriyalar soni



ga teng.
Teorema isbotlandi.
Endi O nuqtani OX oʻqidagi (2n;0) nuqta bilan tutashtiruvchi traektoriyaning ayrim xossalarini qarab chiqamiz. Quyidagicha belgilash kiritamiz.


.
. traektoriyalar orasida O nuqtani (2n;o) nuqta bilan birlashtiruvchilari mavjud.


. OX oʻqidan yuqorida OX oʻqi bilan O nuqtadan va (2n;0) nuqtadan boshqa umumiy nuqtaga ega boʻlmagan traektoriyalar soni ga teng.


. OX oʻqidan pastda uchga ega boʻlmagan traektoriyalar soni ga teng.