Guliston davlat universiteti

1 BOB. AYRIM MUHIM KOMBINATORIK MUNOSABATLAR VA TUSHUNCHALAR HAQIDA.
1.1-§. Berilgan toʻplamning toʻplam ostilari.

Berilgan toʻplamning -elementli qism toʻplami miqdori.

1.1-Tarif: Agar toʻplamning har bir elementi toʻplamga tegishli boʻlsa, u holda toʻplamning qism toʻplami deyiladi va quyidagicha ifodalanadi: yoki ( ni oʻz ichiga oladi, ga kiradi deb oʻqiladi) .
Har qanday narsalardan tuzilgan va bir – biridan shu narsalarning tartibi yoki oʻzi bilan farq qiluvchi gruppalar (toʻplamlar) birlashmalar (kombinatsiya) deyiladi.
Oldingi mavzulardan biz toʻplam tushunchasini bilamiz. Yana eslatib oʻtamiz.
Toʻplam – toʻplam tushunchasi matematikaning boshlangʻich tushunchalaridan biridir. U chekli yoki cheksiz obyektlar (narsalar, buyumlar, shaxslar) ni birgalikda bir butun deb qarash natijasida vujudga keladi. Masalan; Oʻzbekistondagi viloyatlar toʻplami; Viloyatdagi akademik litseylar toʻplami; butun sonlar toʻplami; toʻgʻri chiziq kesmasidagi nuqtalar toʻplami; sinfdagi oʻquvchilar toʻplami.
Toʻplamni tashkil qilgan obyektlar uning elementlari deyiladi. Toʻplamlar odatda lotin alifbosini bosh harflari bilan, uning elementlari esa shu alifboning kichik harflari bilan belgilanadi.
A= va B= toʻplamlar elementlaridan shunday juftliklar tuzaylikki,ulardagi birinchi oʻrinda A ning tartib bilan olingan element, ikkinchi oʻrinda B ning tartib boʻyicha olingan elementi yoziladigan boʻlsin. Hosil boʻladigan juftliklar toʻplamini AxB orqali belgilasak:

Agar birinchi oʻrinda B elementlari qoʻyiladigan boʻlsa, yozilish tartibi bilan oldingisidan farq qiladigan
toʻplam hosil boʻladi.
(1,a), (1,b)…..juftliklar (ikkitaliklar) tarkibidagi elementlar shu juftlikning komponentalari yoki koordinatalari deyiladi (lotincha componentis – tashkil etuvchi).
Shu kabi berilgan A,B,C toʻplamlar elementlaridan tartiblangan uchtaliklar, umuman, k ta toʻlab elementlaridan tartiblangan k taliklar toʻplami tuziladi.
K ta har xil elementli toʻplam uzunligi n=k ga teng deyiladi. Masalan, (1,9,25) va uchliklar teng va bir xil uzunlikda (n=3), komponentalari: . Lekin (a,b,c) va (c,a,b) uchliklarning uzunliklari va koordinatalari bir xil boʻlsada, lekin ular teng emas, chunki koordinatalar turli tartibda joylashgan. (1,2,3) va (1,2,3,4) lar uzunligi har xil, demak oʻzlari ham teng emas.
k talikda kompanentalar toʻplamlardan va boshqa narsalardan iborat boʻlishi ham mumkin. Shunga koʻra ({a,b},c) va ({b,a},c) ikkitaliklar teng, chunki {a,b} va {b,a} bitta toʻplam. Lekin ((a,b),c) va ((b,a),c) ikkitaliklar teng emas chunki (a,b) juftlik (b,a) juftlikka teng emas. (a,b,c), ((a,b),c), (a,(b,c)) lar ham har xil: birinchisi uchtalik, ikkinchisi va uchinchisi har xil ikkitaliklar.
Birorta ham kompanentlar ega boʻlmagan (ya’ni 0 uzunlikdagi) k talik boʻsh k talik deyiladi. Toʻplamda elementlarning tartibi rol oʻynamaydi, k talikda rol oʻynaydi, toʻplamda elementlar takrormasligi kerak, k talik koordinatalar takrorlanishi mumkin.
1.2 - Tarif:Boʻsh toʻplam ixtiyoriy toʻplamning qism toʻplamidir.Uni quyidagicha yozamiz: .
1.3- Tarif:Har qanday toʻplam oʻz-oʻziga qism toʻplam hisoblanadi va koʻrinishida yoziladi.
1.4 -Tarif:Agar va boʻlsa , uholda deyiladi . toʻplamning qism toʻplami qarashli deyiladi , agarda va boʻlsa .
Agar qandaydir toʻplam berilgan boʻlsa, ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ bilan uning barcha qism toʻplamlari toʻplamini belgilaymiz .
bilan toʻplamning barcha elementli qism toʻplamlarini belgilaymiz, bu qism toʻplamlar ta elementga ega :
Agar toʻplam toʻplamning qism toʻplami va boʻlsa, u holda toʻplam toʻplamning ham qism toʻplami deyiladi va quyidagicha yoziladi:
, agar va boʻlsa .
Buni quyidagi misolda qaraymiz:
1.1 Misol : toʻplam berilgan boʻlsin . U holda

- bu toʻplam toʻplamning ikki elementli qism toʻplami.
Demak N(M(A))=8=2 . Chunki M(A)- 8 ta elementdan iborat . N(M (A))=3 ga teng , chunki M (A) toʻplam uchta elementdan iborat .
Shu oʻrinda shunday savol tugʻiladi: elementli toʻplam nechita turli elementli qism toʻplamga ega?
bilan ( -faktarial deb oʻqiladi ) 1 dan gacha boʻlgan barcha natural sonlar koʻpaytmasini ifodalaymiz :
ekani koʻrinib turibdi , chunki natural sonlar toʻplami 1 raqamidan boshlanadi.
1.5- Ta’rif. Gruppalash deb n ta elementdan k tadan tuzilgan va bir–biridan eng kamida 1 ta elementi bilan farq qiladigan oʻrinlashtirishlarga aytiladi.
Ularning sonini orqali belgilaymiz.

1.1- Teorema : elementdan iborat toʻplamning barcha - elementli qism toʻplamlari soni teng :

. (1)
Isbot:
ni ifodalaymiz.
toʻplamning - elementli qism toʻplamini tuzish uchun - elementli qism toʻplamga elementlardan birini qoʻshish kerak , bu element qism toʻplamga kirmaydi . - elementli qism toʻplam boʻlar ekan va ularning har birini yoʻli bilan - elementli qilish mumkin ekan, u holda shu yoʻl bilan biz (n-k+1)C qism toʻplamni hosil qilamiz . Lekin ularning hammasi ham turlicha boʻla olmaydi.
Har bir k- elementli toʻplamni k usul bilan tuzish mumkin: har bir k dan uning elementlarini qoʻshish bilan.
Shuning uchun biz k da hisoblangan son k elementli qism toʻplamning C sonidan bir marta ortiq.
Bundan kelib chiqadiki :