Guliston davlat universiteti

2 BOB. TRAEKTORIYALAR METODI.
2.1-§. Traektoriyalar usuli haqida .

Koʻpgina kombinatorika topshiriqlar uchun shunday geometrik talqinni koʻrsatish mumkinki, aniq xossaga ega boʻlgan yoʻllarning (traektoriyaning) sonini hisoblashga oid masalaga keltiriladi .

Bu metoddan ayrim binomial ayniyatlarni isbotida foydalanish mumkin.
Bu metodning ustunligi favqulodda koʻrgazmalilik hisoblanadi .
Tiraektoriya metodi atamasini B.V.Gnedenko kiritgan . 1951-1954 yillarda B.V.Gnedenko va uning shogirdlari V.S.Korolyuk, V.S.Mixalevich bu metodni matematik sitatistikaning ayrim muhim masalalarni yechishda qoʻllaganlar .
1.1-masala: Kassa oldida m+n ta kishi toʻplandilar .Ulardan n tasida 500 soʻmlik pul bor, qolgan m tasida 1000 soʻmlik pul bor .
Boshlangʻich holatda chipta xonada pul yoʻq. Chipta 500 soʻm turadi.
m n dan boʻlganda birorta chipta oluvchi ham qaytim kutmasligi uchun m+n ta chipta oluvchilarni joylashtirishning barcha usullari nechita .
Faraz qilaylik chipta oluvchilar qandaydir tartibda navbatga joylashgan boʻlsin .
miqdorni quyidagicha aniqlaymiz :
agar i- chipta oluvchida soʻmliklar boʻlsa.
Quyidagi yigʻindini qaraymiz:

Yuqoridagidan koʻrinadiki - birinchi k- ta chipta xonaga berilgan 500 soʻmliklar va 1000 soʻmliklar sonlari orasidagi farqni bildiradi .
Biz XOY dekart koordinata sistemasini qaraymiz va unda

nuqtalarning oʻrnini aniqlaymiz.
nuqtalardan oʻtuvchi va koordinata boshi O(0;0) nuqtani nuqtani tutashtiruvchi siniq chiziqni qaraymiz.
Bunday siniq chiziqni chipta oluvchilarni navbatga joylashtirishniberilgan usulga mos traektoriya deb ataymiz.
Har-bir traektoriya m+n kesmalardan tashkil topadi. Ulardan n tasi yuqoriga , m tasi pastga yoʻnalgan.
Agar yuqoriga yoʻnaltirilgan kesmalar tartib raqamlarini koʻrsatsak, u holda traektoriya toʻla aniqlangan boʻladi . Umumiy traektoriyalar soni shunday ekanligi shaxmat shaharchasi masalasidan kelib chiqadi .
Birorta chipta oluvchi ham navbat kutmaydigan joylashtirishlarga mos traektoriya y=-1 toʻgʻri chiziq bilan kesishmaydi .
Haqiqatdan ham agar qandaydir k lar uchun boʻlsa , bu 1 k-1 ta chipta oluvchi xonaga bir xil sondagi 500 soʻmliklar va 1000 soʻmliklar berilganligini bildiradi .
k- chipta oluvchi 1000 soʻmlik berib , u qaytim kutishga majbur boʻladi .
y=-1 toʻgʻri chiziqni kesuvchi traektoriyalar sonini aniqlaymiz.
y=-1 toʻgʻri chiziqni kesuvchi yoki u bilan umumiy nuqtaga ega boʻlgan har bir T traektoriyaga yangi T traektoriyani quyidagi qoida bilan mos qoʻyamiz:
y=-1 chiziq bilan dastlabki kesishguncha T traektoriya T bilan ustma –ust tushadi .
Bundan keyin esa T T traektoriyaning y=-1 chiziqqa nisbatan simmetrik aksi boʻladi . Chizmada T traektoriya shtrix chiziqlar bilan belgilangan .
Barcha T traektoriyalar nuqtadan y=-1 toʻgʻri chiziqqa nisbatan simmetrik aksi boʻlgan nuqtalarda tugaydi.
Shunday qilib , bunday oʻrnatilgan moslik oʻzaro bir qiymatli . Shuning uchun ham y=-1 chiziqni kesuvchi traektoriyalar soni koordinata boshi O va nuqtalarni birlashtiruvchi siniq chiziqlar soniga teng boʻladi.
Agar siniq chiziq y ta pastga yoʻnaltirilgan kesmalardan x ta yuqoriga yoʻnaltirilgan kesmalardan iborat boʻlsa , u holda x+y=m+n, y-x=n+2-m, bu yerda y=n+1 . Shunday qilib y=-1 chiziqni kesuvchi traektoriyalar soni



ga teng boʻladi. Izlanayotgan traektoriyalar soni


(2)
Bu koʻrilgan masala matematik statistikada muhim ahamiyatga ega. Jumladan mahsulot sifatini nazorat qilishning statistik nazariyasida .
Quyidagi masala bilan 1887 – yilda mashhur fransuz matematigi Bertirant tomonidan qaralgan.
1.2-masala: A nomzod saylovda a ovoz toʻpladi, B nomzod b ovoz toʻpladi ( a>b) saylovchilar ketma- ket ovoz berdilar .
Hamma vaqt A nomzod berilgan ovozlar boʻyicha B nomzoddan oldinda boʻlishini ta’minlovchi ovoz berish hollari nechita?
Yechish: Agar i- ovoz A nomzodga berilgan boʻlsa, .Agar i- ovoz B nomzodga berilgan boʻlsa, deb olamiz.
ni qaraymiz va XOY kordinata sistemasida

nuqtalarini tutashtiruvchi siniq chiziqni qaraymiz.(9-rqsm).
. Har bir ovoz berish usuliga O nuqta va (a+b;a-b) nuqtalarni tutashtiruvchi aniq siniq chiziq (traektoriya) mos keladi .
Traektoriya a+b ta kesmadan iborat boʻlib, ulardan a tasi yuqoriga yoʻnalgan .Shuning uchun ham umumiy traektoriyalar soni gateng boʻladi.
Agar mos traektoriyalar (1;1) nuqtadan (birinchi ovoz A nomzodga berilishi kerak) oʻtib va OX oʻqi bilan kesishmasa , u holda A nomzod B nomzoddan hamma vaqt oldinda boʻladi .
Bunday traektoriyalar soni n=a-1, m=b boʻlgan holda

formula bilan hisoblanishi mumkin.
Demak, izlanayotgan ovoz berishlar usuli

ga teng boʻladi.

Bu masala koʻrsatadiki masalaning traektoriyalar tilidagi talqini qanchalik foydaligini koʻrsatadi.
x>0, y- butun son boʻlsin . Kordinata boshidan (x;y) nuqtaga traektoriya deb , nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziqqa aytiladi. Bu yerda
.


- (0;0) nuqtani (x;y) nuqta bilan tutashtiruvchi barcha traektoriyalar soni boʻlsin. U holda quyidagi teorema oʻrinli boʻladi.