Haqiqiy sonlar ustida arifmetik amallar. Kut I t va ko’paytirish qonunlari

Cheksiz o`nli kasrlar va haqiqiy sonlar

Matematikaning asosiy tushunchalaridan biri son tushunchasi hisoblanadi. Son haqidagi tushuncha qadimda paydo bo`lib, uzoq vaqt davomida kengaytirilib va umumlashtirib borilgan. Eng avval sanashda ishlatiladigan sonlar: 1, 2, 3, … n … hosil bo`lgan, bu sonlar natural sonlar deyiladi. Natural sonlar to`plami N bilan belgilanadi: N= {1, 2, … n …}. Eng kichik natural son 1, eng kattasi mavjud emas. Har bir natu-ral sondan keyin ma`lum bitta natural son keladi; 3 dan keyin albatta 4 keladi, 100 dan keyin – 101 va hokazo.

Natural sonlar to`plami ustida faqat ikkita amal: qo`shish va ko`paytirish bajariladi. Agar bo`lsa, bo`ladi.
Natural sonlarga 0 ni va hamma butun manfiy sonlarni qo`shsak, sonlarning yangi to`plami – butun sonlar to`plami hosil bo`ladi, uni Z bilan belgilash qabul qilingan; Z={…, -2, -1, 0, 1, 2, …}. Butun sonlar ustida qo`shish, ko`paytirish amallaridan tashqari ayirish amali ham bajariladi, haqiqatda agar bo`lsa, .Bundan bo`ladi. Butun sonlar hosil qilinishidan ekanligi kelib chiqadi.
Endi ko`rinishdagi kasrlarni, oddiy kasr ham deyiladi, ko`rib chiqamiz. ixtiyoriy butun qiymatni, q ixtiyoriy natural qiymatni qabul qilganda hosil qiladigan sonlar to`plamiga ratsional sonlar to`p-lami deyiladi va bilan belgilanadi: , ustida to`rt amal: qo`shish, ayirish, ko`paytirish va bo`lish bajariladi. Natural sonlar va butun sonlar ratsional sonlar to`plamiga qism to`plam bo`ladi, ya`ni .
Ratsional sonlarning ba`zi xossalarini keltiramiz:
1. dan kelib chiqadi. hamma vaqt bajariladi.
bo`lib bo`lsa, bo`ladi.
3. va bo`lsa va bo`ladi.
1-ta`rif. va kasrlar o`zaro teskari kasrlar deyiladi. Boshqacha qilib aytganda, ko`paytmasi 1 ga teng bo`lgan kasrlar o`zaro teskari kasrlar deyiladi. o`zaro teskari kasrlar, chunki Shunga o`xshash, bo`lgani uchun ular o`zaro teskari sonlardir.
2-ta`rif. Agar kasrning surati maxrajidan katta yoki teng bo`lsa, kasr noto`g`ri kasr deyiladi. Bu holda suratni maxrajga bo`lib noto`g`ri kasrni butun son va to`g`ri kasr (surat maxrajdan kichik) yig`indisi ko`ri-nishida tasvirlash mumkin: noto`g`ri kasr, suratni maxrajga bo`lsak, 27:4=6(3 qoldiq) hosil bo`ladi, shuning uchun hosil bo`ladi. Boshqa misol
Butun va to`g`ri kasr yig`indisidan iborat son aralash son deyiladi. Uni noto`g`ri kasrga aylantirish uchun butun maxrajga ko`paytiriladi, ko`paytma suratga qo`shiladi. Hosil bo`lgan son noto`g`ri kasrning surati bo`ladi, maxraj o`zgarmaydi.

3-ta`rif. Agar kasrning maxraji 10<sup>n</sup> dan iborat bo`lsa, o`nli kasr deyiladi. Bu holda suratni maxrajga bo`lish yakunlanadi.


Kasrning suratini maxrajga bo`lganda, bo`lish chekli (yakunlanadi) yoki cheksiz (yakunlanmaydi) bo`lishi mumkin. Birinchi holatda chekli o`nli kasr hosil bo`ladi, ikkinchi holatda cheksiz o`nli kasr hosil bo`ladi. Umuman olganda, agar kasrning maxraji ko`rinishida bo`lsa, bu kasr chekli o`nli kasr ko`rinishida tasvirlanadi, bu yerda n, k=0,1,2,…
Haqiqatda, bo`lsin. Faraz qilaylik, n>k va n=k+m bo`lsin. Kasr surat va maxrajini 5<sup>m</sup> ga ko`paytiramiz va ni hosil qilamiz, bu esa o`nli kasrdir.
Agar kasr maxraji 2 va 5 dan tashqari boshqa tub bo`luvchiga ega bo`lsa, kasrni chekli o`nli kasr ko`rinishida tasvirlab bo`lmaydi. Bu hol-da cheksiz o`nli davriy kasr hosil bo`ladi:



Chekli o`nli kasrni davri 0 yoki 9 bo`lgan cheksiz o`nli kasrlar ko`rinishida yozish mumkin.
Aytilganlardan kelib chiqqan holda, ratsional sonlarga quyidagicha ta`rif berish mumkin.