I bob. Funksiyalarni tekshirishga oid asosiy tushunchalar

Funksiya ta’rifi. X va Y lar haqiqiy sonlarning biror to’plamlari ( X⊂R, Y⊂R) bo’lib, x va y o’zgaruvchilar mos ravishda shu to’plamda o’zgarsin:x∈ X, y∈Y .

Ta’rif 1.1. Agar X to’plamdagi har bir xsonga biror f qoida bilan Y to’plamdan yagona y son mos qo’yilgan bo’lsa, X to’plamda funksiya berilgan deyiladi.

Ba’zan X to’plamda berilgan deyish o’rniga funksiya to’plamda aniqlangan deb ham yuritiladi. Funksiya

f : x → y yoki y = f x( )

kabi belgilanadi.

Bunda X funksiyaning aniqlanish to’plami (sohasi), Y esa funksiyaning o’zgarish to’plami (sohasi) deb ataladi. x erkli o’zgaruvchi yoki argument, y esa erksiz o’zgaruvchi yoki x o’zgaruvchining funksiyasi deyiladi.

Biz bundan buyon f : R → R funksiyaning aniqlanish sohasini D f( ) ⊂ R, qiymatlar sohasini esa E f( ) ⊂ R orqali belgilaymiz.

Misol 1.1. f − har bir haqiqiy x songa uning butun qismi [ ]x ni mos qo’yuvchi

qoida bo’lsin. Demak, f x: →[ ]x yoki y=[ ]x funksiyaga ega bo’lamiz. Bu funksiyaning aniqlanish to’plami X =R o’zgarish to’plami (qiymatlar sohasi) esa, Y

Z= bo’ladi.

Funksiyaning berilish usullari. Funksiya ta’rifidagi har bir x ga bitta y ni mos qo’yadigan qoida yoki qonun turli usulda berilishi mumkin. Biz ularni qisqacha qarab o’tamiz.

Ko’pincha x va y orasidagi bog’lanish formulalar yordamida ifodalanadi. Bunda argument x ning har bir qiymatiga mos keladigan y funksiyaning qiymatini x ustida turli amallar – qo’shish, ayirish, ko’paytirish, bo’lish, darajaga ko’tarish, ildiz chiqarish, logariflash va hakozo amallarni bajarish natijasida topiladi. Odatda bunday usul analitik usulda berilish deyiladi.

Ba’zi hollarda x x X( ∈ ) va y y Y( ∈ ) o’zgaruvchilar orasidagi bog’lanish formulalar yordamida berilmasdan jadval orqali berilgan bo’lishi mumkin. Masalan, kun davomida havo haroratini kuzatganimizda, t₁ − vaqtda havo harorati

T₁, t₂ − vaqtda havo harorati T₂ va hakozo bo’lsin. Natijada quyidagi jadvalga kelamiz:

Vaqt, t	t1	t2	t3	t4	…	tk
Harorat, T	T1	T2	T3	T4	…	Tk

Bu jadval t vaqt bilan harorati T orasidagi funksional bog’lanishni ifodalaydi.

bunda t argument, T esa funksiya bo’ladi. Bog’lanishning bunday berilishini jadval usulda berilish deyiladi.

XOY tekisligida shuday L chiziq berilgan bo’lsaki, OX o’qida joylashgan nuqtalardan shu o’qqa o’tkazilgan perpendikulyar, L chiziqni faqat bitta nuqtada kesib o’tsin.

OX o’qidagi bunday nuqtalardan iborat to’plmni X orqali belgilaylik. X to’plamdan ixtiyoriy x ni olib, bu nuqtadan OX o’qiga perpendikulyarlar o’tkazamiz. Bu perpendikulyarlarning L chiziq bilan kesishgan nuqtasining ordinatasini y bilan belgilaymiz va olingan x ga bu yni mos qo’yamiz. Natijada X to’plamdan olingan har bir x ga yuqorida ko’rsatilgan qoidaga ko’ra bitta y mos qo’yilib, funksiya hosil bo’ladi. Bunda x va y o’zgaruvchilar orasidagi bog’lanish L chiziq bilan belgilangan bo’ladi. Odatda f ning bunday berilishi usuli grafik usulda berilishi deb ataladi.